Prüfungsteil 2 2024

Dreieck

Abbildung 1 zeigt das Dreieck $A B C$ mit

vorgegebenen Maßangaben.

Begründe mithilfe einer Rechnung, dass das Dreieck $A B C$ beim Punkt $C$ einen rechten
Winkel hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Aus der Abbildung kann man ablesen:
die längste Seite ist $c = 10 cm$ . Dies ist die Hypotenuse, wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Seiten $a = 6 cm$ und $b = 8 cm$ . Dies sind die Katheten., wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Setzt man die Werte für die Katheten ein und löst nach $c$ auf, erhält man:
$c^{2}$ $=$ $6^{2} + 8^{2}$
$c^{2}$ $=$ $36 + 64$ $\sqrt{}$
$c$ $=$ $\sqrt{36 + 64}$
$c$ $=$ $10$
Damit ist rechnerisch gezeigt, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Entscheide, welche Seite des Dreiecks die Hypotenuse ist und welche Seiten die Katheten.
Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse und vergleiche mit der Länge der Seite $c$ .
Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks $24 {cm}^{2}$ groß ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen rechter Winkel bei $C$ liegt.
Der Flächeninhalt $A_{Δ}$ des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich mit der Formel:
$A_{Δ} = \frac{a \cdot b}{2}$
Einsetzen der Werte
$A_{Δ} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $24 {cm}^{2}$
Verwende die Formel zur Berechnung der Fläche rechtwinkliger Dreiecke
Begründe, dass die folgende Gleichung gilt:
$\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt $A_{Δ}$ eines Dreiecks wird allgemein berechnet nach der Formel:
$A_{Δ} = \frac{Grundseite \cdot Höhe}{2}$
Für das gegebene Dreieck ist das
$A_{Δ} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}$
Im rechtwinkligen Dreieck kann jede Kathete als Grundseite angenommen werden und die jeweils andere Kathete als Höhe des Dreiecks, sodass gilt:
$A_{Δ} = \frac{a \cdot b}{2}$ bzw. $A_{Δ} = \frac{b \cdot a}{2}$
Beide Teile der Gleichung geben den Flächeninhalt des Dreiecks an.
Verwende die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks.
Bestimme und begründe, welche Seiten als Grundfläche und Höhe angenommen werden können.
Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $h_{c}$ .
Folgende Werte sind bekannt:
Fläche des Dreiecks $24 {cm}^{2}$
Länge der Seite $c = 10 cm$
Mit diesen Werten kann man die Formel (s. Teilaufgabe c)
$A_{Δ} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}$
verwenden, um die Höhe $h_{c}$ zu berechnen.
$24$ $=$ $\frac{10 \cdot h_{c}}{2}$ $\cdot 2$
$48$ $=$ $10 \cdot h_{c}$ $: 10$
$4,8$ $=$ $h_{c}$
Die Höhe $h_{c}$ beträgt $4,8 cm$ .
Verwende eine Formel zur Berechnung der Fläche
Setze bekannte Werte ein
Löse nach $h_{c}$ auf
Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels $α$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
Einsetzen der Werte
$\cos (α) = \frac{b}{c} = \frac{8}{10}$
$α \approx {36,9}^{\circ}$
Verwende eine trigonometrische Gleichung
Gegeben ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit der Basis $c = 10 cm$ und den beiden Schenkeln $a$ und $b$ .
(1) Skizziere eine geeignete Planfigur.
(2) Berechne die Länge der Schenkel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
In einem gleichschenkligen Dreieck sind 2 Seiten gleich lang.
Für ein rechtwinkeliges gleichschenkliges Dreieck heißt das, dass die beiden Katheten $a$ und $b$ gleich lang sind.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
Für das gleichschenklige Dreieck gilt $b = a$
Daher gilt für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit $c = 10$ :
$10^{2}$ $=$ $a^{2} + a^{2}$
$100$ $=$ $2 a^{2}$ $: 2$
$50$ $=$ $a^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{50}$ $=$ $a$
$7,07$ $\approx$ $a$
Die Länge der Seite $a$ beträgt $\approx 7,07 cm$ .
Kai behauptet: „Es gibt auch ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.“
Entscheide begründet, ob Kais Behauptung stimmt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
Für ein gleichseitiges Dreieck gilt, dass alle Innenwinkel gleich groß sind.
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^{\circ}$ .
Wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, dann hat ein Winkel $\frac{180}{3} = 60^{\circ}$
Es kann also kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
Kais Behauptung stimmt nicht.
Verwende zur Begründung die Eigenschaften gleichseitiger Dreiecke.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

$c^{2}$	$=$	$6^{2} + 8^{2}$
$c^{2}$	$=$	$36 + 64$	$\sqrt{}$
$c$	$=$	$\sqrt{36 + 64}$
$c$	$=$	$10$

$24$	$=$	$\frac{10 \cdot h_{c}}{2}$	$\cdot 2$
$48$	$=$	$10 \cdot h_{c}$	$: 10$
$4,8$	$=$	$h_{c}$

$10^{2}$	$=$	$a^{2} + a^{2}$
$100$	$=$	$2 a^{2}$	$: 2$
$50$	$=$	$a^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{50}$	$=$	$a$
$7,07$	$\approx$	$a$