A1

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x + 5, x \in ℝ$ , und $g (x) = - 3 \cdot x + 5, x \in ℝ$ .
Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x + 5$ und $g (x) = - 3 \cdot x + 5$ .
Setze $f (x) = g (x)$ und löse die Gleichung.
$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x + 5$ $=$ $- 3 \cdot x + 5$ $- 5 + 3 x$
↓
Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{9}{2} \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $\frac{1}{2} x$ aus.
$\frac{1}{2} x \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$ $=$ $0$
Löse die Gleichung $\frac{1}{2} x \cdot (x^{2} - 6 x + 9) = 0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.
$\Rightarrow x = 0 \lor x^{2} - 6 x + 9 = 0$
Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:
$x^{2} - 6 x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$
Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x = 0$ oder $x = 3$ .
Setze $f (x) = g (x)$ und löse die Gleichung.

Der Punkt $P (3 | f (3))$ ist einer dieser gemeinsamen Punkte.
Zeigen Sie: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ . (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$
Gegeben sind $P (3 | f (3))$ , $f (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x + 5$ und $g (x) = - 3 \cdot x + 5$ .
$f^{'} (x) = \frac{3}{2} \cdot x^{2} - 6 \cdot x + \frac{3}{2}$
Berechne $f^{'} (3) = \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3 + \frac{3}{2} = \frac{27}{2} - 18 + \frac{3}{2} = - 3 = m_{g}$
Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$ .
Berechne $f^{'} (3)$ und vergleiche mit der Steigung der Geraden.
Beachte, der Punkt $P$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{(x^{2})}$ .
Geben Sie die Wertemenge von $f$ an.
[Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten.](2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
Gib die Wertemenge von $f$ an
Der kleinste Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .
$\Rightarrow$ Wertemenge: $y \in ℝ, y \geq 1$ .
Kleinster Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .

Für die erste Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ gilt $f^{'} (x) = 2 x \cdot f (x)$ .
Die Graphen von $f$ und $f^{'}$ schneiden sich in einem Punkt.
Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt
Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ gilt $f^{'} (x) = 2 x \cdot f (x)$ .
Die Graphen von $f$ und $f^{'}$ schneiden sich in einem Punkt.
Setze $f (x) = f^{'} (x) \Rightarrow f (x) = 2 x \cdot f (x) \overset{\overset{}{f (x) \neq 0}}{\to} 1 = 2 x \Rightarrow x = \frac{1}{2} .$
Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $(\frac{1}{2} | f (\frac{1}{2}))$ ist dann:
$f^{'} (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{{(\frac{1}{2})}^{2}} = e^{\frac{1}{4}}$ .
Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{'}$ ist $e^{\frac{1}{4}}$ .
Setze $f (x) = f^{'} (x)$ und bestimme $x$ .
Setze den berechneten $x$ -Wert in $f^{'} (x)$ ein.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Eine in $ℝ$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f^{'}$ und zweiter Ableitungsfunktion $f^{''}$ hat folgende Eigenschaften:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ .
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ .
Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .
Abbildung 1
Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist
Da $f^{'}$ an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum hat (und $f^{'}$ nicht konstant sein kann, da $f$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{'}$ mindestens $2$ und damit der Grad von $f$ mindestens $3$ .
$f^{'}$ hat an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum. Daher ist der Grad von $f^{'}$ mindestens $2$ .
Was folgt daraus für den Grad von $f$ ?

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$
Bekannt ist:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.
Mögliche Lösung:
Bekannt ist:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto - x^{2} + 2 a x$ mit $a \in ℝ, a > 1$ .
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat
Bekannt ist: Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{2 a} f (x) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2}]}_{0}^{2 a} = - \frac{8}{3} a^{3} + 4 a^{3} = \frac{4}{3} a^{3}$ .
Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{2 a} f (x) d x$ .

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen
(vgl. Abbildung 2).
Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.
Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 P)
Abbildung 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimmen Sie den Wert von $a$
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
Weiterhin ist $f (x) = - x^{2} + 2 a x$ und die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
Berechne $y_{H P} = f (a) = - a^{2} + 2 \cdot a \cdot a = a^{2}$ $\Rightarrow$ $H P (a | a^{2})$ ist der Hochpunkt des Graphen von $f$ .
Eine Quadratseite hat also die Länge $a^{2}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^{2})^{2}$ .
Demnach gilt für $a > 1$ :
$\frac{4}{3} a^{3} = (a^{2})^{2} = a^{4} \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
Der Wert von $a$ ist $\frac{4}{3}$ .
Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
Berechne $y_{H P} = f (a)$ .
Eine Quadratseite hat also die Länge $y_{H P}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(y_{H P})^{2}$ .
Löse die Gleichung $\frac{4}{3} a^{3} = (y_{H P})^{2}$ nach $a$ auf.
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ mit $λ \in ℝ$ .
Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt
Einsetzen der durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung:
$λ + 1 + 1 - λ = 2 ✓$ liefert eine wahre Aussage.
Die Gerade $g$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ .
Setze die durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ mit $μ \in ℝ$ und $a \in ℝ$ .
Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Weise nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind
Setze $g = h_{a}$ :
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
Aus Gleichung $I$ folgt: $λ = μ$ .
Aus Gleichung $II$ folgt: $1 = a \cdot μ$ .
Aus Gleichung $III$ folgt: $1 - λ = 1 \Rightarrow λ = 0$
Wegen Gleichung $I$ folgt dann auch, dass $μ = 0$ ist.
Für Gleichung $II$ ergibt sich dann ein Widerspruch, da $1 \neq a \cdot 0$ ist.
Da das Gleichungssystem einen Widerspruch liefert und damit nicht erfüllbar ist, besitzen $g$ und $h_{a}$ keinen Schnittpunkt.
Prüfe die Geraden $g$ und $h_{a}$ auf Parallelität: Es gibt keinen Wert von $a$ , für den die Richtungsvektoren $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ kollinear sind. $g$ und $h_{a}$ sind daher nicht parallel.
Daher gilt: Die Geraden $g$ und $h_{a}$ sind für jeden Wert von $a$ windschief.
Setze $g = h_{a}$ und löse das Gleichungssystem.
Falls das Gleichungssystem keine Lösung hat, besitzen $g$ und $h_{a}$ keinen Schnittpunkt.
Prüfe die Geraden $g$ und $h_{a}$ auf Parallelität.
Sind sie nicht parallel, dann sind die Geraden für jeden Wert von $a$ windschief.
6
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Gegeben ist das Gleichungssystem
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & 5 z & = & 1 \end{array}$ $mit x, y, z \in ℝ$ .
Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Berechne die Lösung des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & 5 z & = & 1 \end{array}$
Addiere Gleichung $II$ und $III \Rightarrow - z = 1 \Rightarrow z = - 1$
Aus Gleichung $I$ folgt dann mit $z = - 1$ : $2 x + (- 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
Aus Gleichung $II$ folgt mit $z = - 1$ : $- 2 y + 4 \cdot (- 1) = 0 \Rightarrow y = - 2$
Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x = \frac{1}{2}, y = - 2$ und $z = - 1$ .
Löse das Gleichungssystem mit einem Verfahren Deiner Wahl.

Es gibt einen Wert von $r$ mit $r \in ℝ$ , für den das Gleichungssystem
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & r z & = & 1 \end{array}$ $mit x, y, z \in ℝ$
keine Lösung besitzt.
Ermitteln Sie diesen Wert. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Ermittele diesen Wert
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & r z & = & 1 \end{array}$
Addiere Gleichung $II$ und $III \Rightarrow 4 z - r z = 1 \Rightarrow (4 - r) \cdot z = 1$
Die Gleichung $(4 - r) \cdot z = 1$ hat für $r = 4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r = 4$ keine Lösung.
Die Addition von Gleichung $II$ und $III$ liefert eine Gleichung, die für einen bestimmten Wert von $r$ keine Lösung hat.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{3}{2} \cdot x + 5$	$=$	$- 3 \cdot x + 5$	$- 5 + 3 x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\frac{1}{2} \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + \frac{9}{2} \cdot x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $\frac{1}{2} x$ aus.
$\frac{1}{2} x \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$	$=$	$0$

A1

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen

Zeige: Der Graph von g ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P

Aufgabe 2

Gib die Wertemenge von f an

Bestimme die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt

Aufgabe 3

Begründe, dass der Grad von f mindestens 3 ist

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von f

Aufgabe 4

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, den Inhalt 43a3 hat

Bestimmen Sie den Wert von a

Aufgabe 5

Zeige, dass g in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=2 liegt

Weise nach, dass g und ha für jeden Wert von a windschief sind

Aufgabe 6

Berechne die Lösung des Gleichungssystems

Ermittele diesen Wert

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gib die Wertemenge von $f$ an

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat

Bestimmen Sie den Wert von $a$

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt

Weise nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind