Teil B: Analysis 1

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
Es gilt: Für alle $x \in ℝ$ ist $e^{x} > 0$ .
$h (x)$ ist also genau dann positiv, wenn $(1 - x^{2}) > 0$ ist, also nur für $- 1 < x < 1$ .
Betrachte den Term $1 - x^{2}$ .
Für welche Werte von $x$ ist dieser Term positiv?
Zeigen Sie: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
Zeige: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$
Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
Wende die Produktregel an.
$h^{'} (x) = (- 2 x) \cdot e^{x} + (1 - x^{2}) \cdot e^{x} = (- x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{x} = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ .
Wende die Produktregel an.
Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
Bestimmen Sie die $x$ -Koordinaten dieser Punkte. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte
Gegeben: Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
Die Steigung der Geraden g ist $m_{g} = 1 \Rightarrow m_{h} = 1$ .
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ .
Die Gleichung besitzt die beiden Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} \approx - 0,62$ und $x_{2} \approx 0$ .
Die $x$ -Koordinaten dieser Punkte sind $x_{1} \approx - 0,62$ und $x_{2} \approx 0$ .
Die Steigung der Geraden g ist $m_{g} = 1 \Rightarrow m_{h} = 1$ .
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ .
Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $h^{''} (x) = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$ .
Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.
In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal.
Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Gegeben ist $h^{''} (x) = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$ .
Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ .
$0 = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an:
Wegen $e^{x} \neq 0$ kann nur $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ sein.
Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 4$ und $q = 1$ ein.
$=$ $- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1}$
$=$ $- 2 \pm \sqrt{3}$
Die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ besitzt die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} = - 2 - \sqrt{3} \approx - 3,73$ und $x_{2} = - 2 + \sqrt{3} \approx - 0,27$ .
Verwende das Vorzeichenwechselkriterium:
Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung verschwindet und sie an dieser Stelle ihr Vorzeichen wechselt.
Es gilt $h^{''} (- 4) \approx - 0,018 < 0, h^{''} (- 2) \approx 0,41 > 0$ und $h^{''} (0) = - 1 < 0$ .
Bei $x_{1}$ und $x_{2}$ liegen wegen der Vorzeichenwechsel von $h^{''}$ jeweils Wendestellen vor.
Weiterhin ist $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ .
$h^{'} (x_{1}) \approx - 0,13$ und $h^{'} (x_{2}) \approx 1,12$ $\Rightarrow$ die Steigung von $G_{h}$ ist bei $x_{2}$ maximal.
Teil 1
Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Eine Überprüfung, ob ein Wendepunkt vorliegt, kann mit dem Vorzeichenwechselkriterium erfolgen.
Teil 2
Berechne $h^{'} (x_{1})$ und $h^{'} (x_{2})$ und vergleiche.
$G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H (- 1 + \sqrt{2} | h (- 1 + \sqrt{2}))$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\int_{- 1}^{1} h (x) d x$ .
$A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x \approx 1,47$
$A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x \approx 0,95$
$A_{1} = A - A_{2} = 1,47 - 0,95 = 0,52 \Rightarrow$ die größere Fläche ist die Fläche $A_{2}$ .
Gesucht ist also das Verhältnis $\frac{A_{2}}{A}$ :
$\frac{A_{2}}{A} = \frac{\int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x}{\int_{- 1}^{1} h (x) d x} \approx 0,647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64,7 %$ .
Berechne die Flächen $A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x$ und $A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x$ und entscheide, welche der beiden Teilflächen $A_{1}$ oder $A_{2}$ die größere ist.
Berechne dann $\frac{A_{größere}}{A}$ .
Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten ⁣ $(0 | 0), (w | 0)$ und $(w | h (w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot (1 - w^{2}) \cdot e^{w}$ .
Der Taschenrechner liefert die gerundeten Koordinaten (⁣ $0,675 | 0,361$ ) für den absoluten Hochpunkt des Graphen von $i$ im Bereich $0 \leq w \leq 1$ .
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $0,36 FE$ .
Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w)$ .
Lasse Dir die Koordinaten des absoluten Hochpunktes anzeigen $H P (w_{1} | i (w_{1}))$
Der maximale Flächeninhalt ist dann $i (w_{1})$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{1,2}$	$=$	$= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 4$ und $q = 1$ ein.
	$=$	$- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1}$
	$=$	$- 2 \pm \sqrt{3}$

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 2

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für −1<x<1 positiv ist

Zeige: h′(x)=−(x2+2x−1)⋅ex

Bestimme die x-Koordinaten dieser Punkte

Berechne die Wendestellen von h, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat

Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Zeige: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$

Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat