Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

Aufgabe 6: Seilbahn

Eine Seilbahn verbindet die beiden Orte $A$ und $B$ .

Die Strecke $F A$ kennzeichnet den Höhenunterschied zwischen den Orten $B$ und $A$ .
Berechnen Sie diesen Höhenunterschied. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Aus der Zeichnung kannst du sehen, dass der Windel $∠ A F B$ ein rechter Winkel ist. Ebenfalls ist die Länge der Hypotenuse und einer Kathete gegeben.
Mit diesen Werten kannst du die Länge der Strecke $F A$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Satz des Pythagoras anwenden
Länge der Hypotenuse (c): $384 m$
Länger einer Kathete (a): $255 m$
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$384^{2}$ $=$ $255^{2} + {F A}^{2}$
${F A}^{2}$ $=$ $384^{2} - 255^{2}$
$F A$ $=$ $\sqrt{384^{2} - 255^{2}}$
$F A$ $\approx$ $287,11$
Der Höhenunterschied $F A$ beträgt $\approx 287,11 m$ .
Verwende den Satz des Pythagoras
Bestimmen Sie die Größe des Winkels $β_{1}$ , mit der die Seilbahn von $B$ nach $A$
fährt. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der Winkel $β_{1}$ kann mit der Seiten-Winkel-Beziehung des Sinus berechnet werden.
$\sin (β_{1})$ $=$ $\frac{Gegenkathete von β_{1}}{Hypotenuse}$
↓
Werte Einsetzen
$\sin (β_{1})$ $=$ $\frac{287,11}{384}$
$\sin (β_{1})$ $\approx$ $0,7477$
$\Rightarrow β_{1} = \sin^{- 1} (0,7477) \approx {48,39}^{\circ}$
Die Größe des Winkels $β_{1}$ beträgt ${48,39}^{\circ}$ .
Verwende eine trigonometrische Funktion zur Berechnung des Winkels
Die Seilbahn fährt von $B$ nach $A$ mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit
von 3 $, 2 \frac{m}{s}$ .
Ermitteln Sie die Dauer für eine Fahrt mit der Seilbahn.
Geben Sie das Ergebnis in Minuten an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit (Grundlagen)
Wir wissen von der Formel für die Geschwindigkeit $v$ , dass sie gegeben ist als die Länge eines Weges geteilt durch die Dauer, die für diesen Weg benötigt wird:
$v = \frac{Δ s}{Δ t}$
In diesem Fall ist die Streckenlänge $Δ s$ gegeben durch $| A B | = 384 m$ . Das können wir zusammen mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Geschwindigkeit einsetzen.
Mittels Umformen erhalten wir:
$3,2$ $=$ $\frac{384}{Δ t}$ $\cdot Δ t$
$3,2 \cdot Δ t$ $=$ $384$ $\div 3,2$
$Δ t$ $=$ $\frac{384}{3,2}$
$=$ $120$
Also dauert ein Fahrt mit der Seilbahn $120$ Sekunden, was $2$ Minuten entspricht.
$*$ Der Ort $B$ und der Ort $C$ sind mit einer weiteren Seilbahn verbunden.
Folgende Angaben sind bekannt:
$α = 38 °$ und $β_{2} = 108 °$ .
Berechnen Sie die Länge der Seilbahnstrecke von $B$ nach $C$ . (4P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Wir bestimmen zuerst den Winkel $∡ A C B$ , da dieser Winkel der Strecke $A C$ gegenüberliegt, von welcher wir die Länge kennen. Weil dieser Winkel bei $C$ liegt, bezeichnen wir ihn im Folgenden mit $γ$ .
Da die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt und wir die beiden anderen Winkel im Dreieck, nämlich $α$ und $β_{2}$ , kennen, können wir $γ$ wie folgt berechnen:
$γ = 180^{\circ} - α - β_{2} = 180^{\circ} - 38^{\circ} - 108^{\circ} = 34^{\circ} .$
Weil $α$ der Strecke $B C$ gegenüberliegt, können wir jetzt den Sinussatz anwenden:
$\frac{| B C |}{\sin (α)}$ $=$ $\frac{| A B |}{\sin (γ)}$
↓
Einsetzen der bekannten Werte
$\frac{| B C |}{\sin (38^{\circ})}$ $=$ $\frac{384}{\sin (34^{\circ})}$ $\cdot \sin (38^{\circ})$
$| B C |$ $=$ $\sin (38^{\circ}) \frac{384}{\sin (34^{\circ})} \approx 422,8$
Die Länge der Seilbahnstrecke von $B$ nach $C$ beträgt also ungefähr $422,8 m$ .
Bei dieser Aufgabe kann der Sinussatz hilfreich sein.
Um den fehlenden Winkel zu bestimmen, kannst Du zuvor verwenden, dass die Innenwinkelsumme eines Dreieckes $180^{\circ}$ beträgt.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$384^{2}$	$=$	$255^{2} + {F A}^{2}$
${F A}^{2}$	$=$	$384^{2} - 255^{2}$
$F A$	$=$	$\sqrt{384^{2} - 255^{2}}$
$F A$	$\approx$	$287,11$

$\sin (β_{1})$	$=$	$\frac{Gegenkathete von β_{1}}{Hypotenuse}$
	↓	Werte Einsetzen
$\sin (β_{1})$	$=$	$\frac{287,11}{384}$
$\sin (β_{1})$	$\approx$	$0,7477$

$3,2$	$=$	$\frac{384}{Δ t}$	$\cdot Δ t$
$3,2 \cdot Δ t$	$=$	$384$	$\div 3,2$
$Δ t$	$=$	$\frac{384}{3,2}$
	$=$	$120$

$\frac{\| B C \|}{\sin (α)}$	$=$	$\frac{\| A B \|}{\sin (γ)}$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\frac{\| B C \|}{\sin (38^{\circ})}$	$=$	$\frac{384}{\sin (34^{\circ})}$	$\cdot \sin (38^{\circ})$
$\| B C \|$	$=$	$\sin (38^{\circ}) \frac{384}{\sin (34^{\circ})} \approx 422,8$