Nachtermin Teil B

Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ mit den Strecken $\overline{\mathrm{MN}}$ und $\overline{\mathrm{AN}}$

Zeichne die Strecke $\overline{AC}$ und markiere die Mitte dieser Strecke $M$. Trage im Punkt $M$ einen Winkel von $\omega ={45}^{\circ }$ an. Wegen $q=\frac{1}{2}$ beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ nur $5\text{ cm}$. Zeichne in den Punkten $A,B,C$, $D$ und $M$ jeweils eine Senkrechte mit einer Länge von $8\text{ cm}$.

Verbinde die Punkte $A,B,C$ und $D$ ebenso die Punkte $E,F,G$ und $H$. Verbinde weiterhin die Punkte $E$ mit $G$ und $F$ mit $H$. Der Schnittpunkt der Strecken $\overline{EG}$ und $\overline{FH}$ ist der Punkt $N$. Verbinde $A$ mit $N$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{AN}}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $AMN$:

Verwende den Satz des Pythagoras:

$|\overline{\mathrm{AN}}|=\sqrt{(\mathrm{0,5}\cdot 10{)}^2+8^2}\approx \mathrm{9,43}$

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{AN}}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}$.

Berechne das Maß des Winkels CAN

Verwende zur Berechnung den Tangens:

$\tan \sphericalangle CAN={\displaystyle \frac{|\overline{\mathrm{MN}}|}{|\overline{\mathrm{AM}}|}}={\displaystyle \frac{8}{5}}\Rightarrow \sphericalangle CAN={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)\approx {\mathrm{57,99}}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $CAN$ beträgt rund ${\mathrm{57,99}}^{\circ }$.

Zeichnen Sie die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N$ und den Punkt $L_1$ für $x=4$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Gib an, für welche Belegungen von $x$ es Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}N$ gibt

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{AN}}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}$.

Deshalb gibt Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}N$, wenn gilt: $0\le x<\mathrm{9,43}$.

Zeige, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_n$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}N$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{cm}}^2$

Für die Fläche des Drachenvierecks gilt:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot f={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (|\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}|+|\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}|)\cdot |\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}|$

Unbekannt in der Flächengleichung ist $|\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}|$.

Betrachte das Dreieck $ANM$ und wende den Strahlensatz an.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{|\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}|}{|\overline{\mathrm{AM}}|}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow |\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot 10\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\right)=(5-\mathrm{0,53}x)\text{ cm}$

Damit erhält man für die Fläche des Drachenvierecks:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (|\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}|+|\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}|)\cdot |\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}|$

$\Rightarrow A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (5-\mathrm{0,53}x+\mathrm{0,5}\cdot 10)\cdot 10=5\cdot (10-\mathrm{0,53}x)=(50-\mathrm{2,65}x){\text{ cm}}^2$

Damit ist gezeigt, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_n$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}N$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{cm}}^2$.

Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGH$

Berechne das Volumen des Prismas

$V_{\text{Prisma}}=G_{\text{Quadrat}}\cdot h$

Da vom Quadrat die Diagonalen gegeben sind, erhält man für den Flächeninhalt:

$G_{\text{Quadrat}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10{\text{ cm}}^2$

Die Prismahöhe beträgt $8\text{ cm}$.

$\Rightarrow V_{\text{Prisma}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10\cdot 8=400$

Das Volumen des Prismas beträgt $400{\text{ cm}}^3$.

Berechne das Volumen der Pyramide

Die Grundfläche der Pyramide in Abhängigkeit von $x$ wurde in Aufgabe c) berechnet: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{cm}}^2$

Für die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N$ ist $x=4\Rightarrow A(4)=(50-\mathrm{2,65}\cdot 4){\mathrm{cm}}^2$.

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot A_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_1}\cdot |\overline{L_{1}N|}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot |\overline{L_{1}N|}$

Die Berechnung der Pyramidenhöhe $|\overline{L_{1}N|}$ erfolgt mit dem Strahlensatz.

Betrachte das Dreieck $ANM$.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{|\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}|}{8}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow |\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}|=8\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\right)\approx \mathrm{4,61}$

Die Pyramidenhöhe beträgt rund $\mathrm{4,61}\text{ cm}$.

Für das Pyramidenvolumen folgt dann:

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot \mathrm{4,61}\approx \mathrm{60,54}$

Das Volumen der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N$ beträgt rund $\mathrm{60,54}{\text{ cm}}^3$.

Berechne den prozentualen Anteil

Für den prozentualen Anteil erhält man:

${\displaystyle \frac{V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}}{V_{\text{Prisma}}}}\cdot 100\%={\displaystyle \frac{\mathrm{60,54}}{400}}\cdot 100\%\approx \mathrm{15,14}\%$

Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ beträgt rund $\mathrm{15,14}\%$.

Bestimme dieses Winkelmaß

Es gilt:

$\sphericalangle R_0{P}_{0}N=\sphericalangle N{R}_0{P}_0=\sphericalangle CAN={\mathrm{57,99}}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $N{R}_0{P}_0$ beträgt ${\mathrm{57,99}}^{\circ }$.