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Einer Halbkugel mit Radius $R = 10 cm$ soll ein Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ einbeschrieben werden (siehe Skizze).

Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Ermitteln Sie die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V : h \mapsto V (h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 cm$ betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: $V (h) = h π (100 - h^{2})$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Ermittele die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$
Gegeben ist der Halbkugelradius $R = 10 cm$ .
$V_{Z} = π \cdot r^{2} \cdot h$
Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an:
$R^{2} = r^{2} + h^{2} \Rightarrow 10^{2} = r^{2} + h^{2} \Rightarrow r^{2} = 100 - h^{2}$ .
Setze $r^{2}$ in $V_{Z}$ ein:
$V_{Z} (h) = π \cdot (100 - h^{2}) \cdot h = π \cdot (100 h - h^{3})$
Die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ lautet $V_{Z} (h) = π \cdot (100 h - h^{3})$ .
Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V : h \mapsto V (h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 cm$ betragen soll
Es gilt also $h \geq 6$ und $h < 10$ (für $h = 10$ ist das Zylindervolumen gleich null).
Damit ist die Definitionsmenge $D_{V} = [6; 10 [$ .
Teil 1
Es ist $V_{Z} = π \cdot r^{2} \cdot h$ .
Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an und löse nach $r^{2}$ auf. Setze $r^{2}$ in $V_{Z}$ ein.
Teil 2
Es muss gelten $h \geq 6$ und $h < 10$ $\Rightarrow D_{V}$ .
Berechnen Sie $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen $V_{max}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Z} (h)$ .
Es ist $V_{Z} (h) = π \cdot (100 h - h^{3}) \Rightarrow V_{Z}^{'} (h) = π \cdot (100 - 3 h^{2})$ und
$V_{Z}^{''} (h) = - 6 \cdot π \cdot h$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Z}^{'} (h) = 0$ .
Löse die Gleichung $V_{Z}^{'} (h) = 0 \Rightarrow 0 = π \cdot (100 - 3 h^{2})$ nach $h$ auf.
$\Rightarrow h^{2} = \frac{100}{3} \Rightarrow h = \pm \sqrt{\frac{100}{3}}$
Die negative Lösung für $h$ entfällt und die positive Lösung $h = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5,77$ ist nicht im Definitionsbereich (siehe Aufgabe a) enthalten.
Das maximale Volumen kann also nur am Rand liegen $\Rightarrow$ Randbetrachtung.
Die linke Seite des Definitionsbereiches ist $h = 6 \Rightarrow V_{Z} (6) = π \cdot (100 \cdot 6 - 6^{3}) = π \cdot 384$ .
Für die rechte Seite des Definitionsbereiches muss der Grenzwert berechnet werden: $\lim_{h \to 10^{-}} π \cdot (100 h - h^{3}) = 0$
Damit erhält man das absolute Maximum für $h = 6 \Rightarrow V_{m a x} = 384 π$ .
Untersuche, ob das maximale Volumen $V_{max}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt
Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist $\frac{1}{4}$ des Kugelvolumens:
$\frac{1}{4} V_{K} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} π R^{3}) = (\frac{1}{3} π R^{3}) = (\frac{1}{3} π 10^{3}) = \frac{1000}{3} π \approx 333,3 π$
Gilt: $V_{m a x} > \frac{1}{4} V_{K}$ ?
$\Rightarrow 384 π > 333,3 π ✓$
Das maximale Volumen $V_{max}$ des Zylinders beträgt mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens.
Teil 1
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Z} (h)$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Z}^{'} (h) = 0$ .
Löse die Gleichung $V_{Z}^{'} (h) = 0$ nach $h$ auf.
Untersuche, ob die gefundene Lösung im Definitionsbereich liegt. Falls die nicht der Fall sein sollte, muss eine Randbetrachtung erfolgen.
Gib $V_{m a x}$ an.
Teil 2
Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist $\frac{1}{4}$ des Kugelvolumens. Berechne diesen Wert.
Gilt: $V_{m a x} > \frac{1}{4} V_{K}$ ?

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Ermittele die Maßzahl V(h) des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h

Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V:h↦V(h) an, wenn die Höhe h mindestens 6 cm betragen soll

Berechne h so, dass V(h) den absolut größten Wert annimmt

Untersuche, ob das maximale Volumen Vmax des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt

Ermittele die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$

Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V : h \mapsto V (h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 cm$ betragen soll

Berechne $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt

Untersuche, ob das maximale Volumen $V_{max}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt