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Pflichtteil

Aufgabe P2

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = a x^{3} + a x^{2}$ und $a \in ℝ^{+}$ .

Geben Sie den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt. [1 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein:
$6 = a \cdot 1^{3} + a \cdot 1^{2} = 2 \cdot a \Rightarrow a = 3$
Für $a = 3$ liegt der Punkt $(1 | 6)$ auf $f_{3} (x)$ .
Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein.
Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{a}$ mit der
x-Achse einschließt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt:
$f_{a} (x) = 0 \Rightarrow a x^{3} + a x^{2} = 0 \Rightarrow a x^{2} (x + 1) = 0$
Wende den Satz vom Nullprodukt an:
$x_{1,2} = 0$ und $x_{3} = - 1$
Demnach muss für die Flächenberechnung das Integral von $- 1$ bis $0$ berechnet werden:
$A (a) = \int_{- 1}^{0} a x^{3} + a x^{2} d x = {[\frac{a}{4} x^{4} + \frac{a}{3} x^{3}]}_{- 1}^{0} = 0 - (\frac{a}{4} \cdot (- 1)^{4} + \frac{a}{3} \cdot (- 1)^{3})$
$A (a) = \frac{a}{3} - \frac{a}{4} = \frac{a}{12}$
Berechne die Nullstellen der Funktion $\Rightarrow$ $x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne dann $A (a) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{a} (x) d x$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org