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Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{- x}$

Eine Stammfunktion zu $f$ wird mit $F$

bezeichnet.

Abb. 1

Zeigen Sie rechnerisch, dass $f$ genau zwei Nullstellen besitzt. [2BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Setze $f (x) = 0$ :
$0 = (1 - x^{2}) \cdot e^{- x}$
Verwende den Satz vom Nullprodukt.
Da $e^{- x} \neq 0$ für alle $x$ , kann nur $1 - x^{2} = 0$ sein:
$\Rightarrow x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$
Setze $f (x) = 0$ und verwende den Satz vom Nullprodukt.
Deuten Sie die Aussage $F (2, 5) - F (0) \approx 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$ geometrisch. [3BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Es gilt: $F (2, 5) - F (0) = \int_{0}^{2,5} f (x) d x \approx 0$
Betrachte in der Abbildung $1$ das Integrationsintervall:
Im Intervallbereich $0$ bis $1$ verläuft der Funktionsgraph im positiven Bereich oberhalb der x-Achse (für $x = 1$ ist der Funktionswert gleich null) und man erhält einen positiven Flächeninhalt. Dieser Flächeninhalt ist etwa so groß wie der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ unterhalb der x-Achse von $1$ bis $2,5$ mit dieser einschließt.
Die Flächenbilanz ist demnach ungefähr gleich null.
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
Die Flächenbilanz ist ungefähr null.
Betrachte den Flächeninhalt im Intervallbereich $0$ bis $1$ und im Intervallbereich von $1$ bis $2,5$ .
Wie groß ist die Flächenbilanz?

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org