Teil 1, Analysis

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion g zum Koordinatensystem und geben Sie $\int_{- 2}^{2} g (x) d x$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Symmetrienachweis
Setze $- x$ ein
↓
$g (- x)$ $=$ $e^{0,25 \cdot (- x)} - e^{- 0,25 \cdot (- x)}$
$=$ $e^{- 0,25 x} - e^{0,25 x}$
↓
Klammere $- 1$ aus
$=$ $- (- e^{- 0,25 x} + e^{0,25 x})$
$=$ $- (e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x})$
$=$ $- g (x)$
Der Graph $G_{g}$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
bestimmtes Integral
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Grenzen gleich weit vom Ursprung entfernt sind, hat das Integral den Wert 0.
Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatensystem, wenn entweder $g (- x) = g (x)$ (Achsensymmetrie) oder $g (- x) = - g (x)$ (Punktsymmetrie) gilt. Setze also $- x$ ein und forme um.
Überlege dir, wie deine Erkenntnisse über die Symmetrie die Berechnung des bestimmten Integrals beeinflussen.
Ermitteln Sie die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle $x = 0$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Verwende zum Beispiel die Punkt-Steigungs-Form der linearen Funktion:
Verläuft eine Gerade mit der Steigung m durch den Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ , so kann die Gerade durch $y = m (x - x_{P}) + y_{P}$ angegeben werden.
Hier also:
$t (x) = g^{'} (0) \cdot (x - 0) + g (0)$
wobei $m = g^{'} (0)$ der Wert der Ableitung bei $x = 0$ ist und $g (0)$ der Funktionswert.
Da $G_{g}$ aufgrund der Punktsymmetrie durch den Ursprung verläuft, ist $g (0) = 0$
Steigung bestimmen
Verwende die Kettenregel, um $g (x) = e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x}$ abzuleiten:
$g^{'} (x) = 0,25 e^{0,25 x} - (- 0,25) e^{- 0,25 x} = 0,25 (e^{0,25 x} + e^{- 0,25 x})$
Setze $x = 0$ ein, um die Steigung an dieser Stelle zu erhalten:
$g^{'} (0)$ $=$ $0,25 (e^{0,25 \cdot 0} + e^{- 0,25 \cdot 0})$
$=$ $0,25 (e^{0} + e^{0})$
↓
Für jede Zahl gilt: $a^{0} = 1$
$=$ $0,25 (1 + 1)$
$=$ $0,5$
Fertige Tangente
Setze in $t (x) = g^{'} (0) \cdot (x - 0) + g (0)$ ein:
$t (x) = 0,5 \cdot (x - 0) + 0 = 0,5 x$
Am elegantesten geht das Aufstellen der Tangente mit der Punkt-Steigungs-Form. In jedem Fall brauchst du:
Den Funktionswert bei $x = 0$
Die Steigung bei $x = 0$ , die du durch die Ableitung $g^{'}$ ermitteln kannst.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Setze $- x$ ein
	↓
$g (- x)$	$=$	$e^{0,25 \cdot (- x)} - e^{- 0,25 \cdot (- x)}$
	$=$	$e^{- 0,25 x} - e^{0,25 x}$
	↓	Klammere $- 1$ aus
	$=$	$- (- e^{- 0,25 x} + e^{0,25 x})$
	$=$	$- (e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x})$
	$=$	$- g (x)$

$g^{'} (0)$	$=$	$0,25 (e^{0,25 \cdot 0} + e^{- 0,25 \cdot 0})$
	$=$	$0,25 (e^{0} + e^{0})$
	↓	Für jede Zahl gilt: $a^{0} = 1$
	$=$	$0,25 (1 + 1)$
	$=$	$0,5$

Teil 1, Analysis

Symmetrienachweis

bestimmtes Integral

Steigung bestimmen

Fertige Tangente