Heft 2 - B1

André untersucht mithilfe einer Geometriesoftware Punkte auf einem Halbkreis mit dem Radius $5 c m$ um den Mittelpunkt $M$ . Die Punkte $A, B$ und $C$ lassen sich auf der Kreislinie verschieben.

André untersucht die Abstände der Punkte $A, B$ und $C$ zueinander.

Berechne den Abstand der Punkte $C$ und $B$ in Zentimetern für $α = 75^{\circ}$ . (3 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Kosinussatz: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$
$a = b = 5 cm$
$γ = 90 ° - α = 90 ° - 75 ° = 15 °$
Einsetzen:
${B C}^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos (15 °)$
${B C}^{2} = 50 - 50 \cdot \cos (15 °) = 50 - 50 \cdot 0,9659 = 1,705$
$B C \approx 1,3$
Verwende die Formel des Kosinussatzes für das allgemeine Dreieck.
Der Abstand $a$ der Punkte $A$ und $C$ zueinander ist $a = \sqrt{2} \cdot 5 c m$ .
Zeige, dass das stimmt. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Kosinussatz: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (α)$
$a = b = 5 cm$
$α = 90 °$
Einsetzen:
$| A C |^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos (90 °)$
$| A C |^{2} = 50 - 50 \cdot \cos (90 °) = 50$
$| A C | = \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 25} = \sqrt{2} \cdot 5$
Der Abstand $a$ beträgt $\sqrt{2} \cdot 5 cm$ .
Alternative:
Das Dreieck $A C M$ ist bei $M$ rechtwinklig.
Daher gilt mit dem Satz des Pythagoras
$| A C |^{2} = | A M |^{2} + | C M |^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50$
$| A C | = \sqrt{50} = 2 \sqrt{5}$
Verwende den Kosinussatz für das allgemeine Dreieck.
André verschiebt den Punkt $B$ so, dass $A$ und $B$ den Abstand $5 c m$ voneinander haben.
Gib die Größe des Winkels $α$ an. (1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Kosinussatz: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (α)$
$| A B | = c = 5 cm$
$a = b = 5 cm$
Einsetzen:
$5^{2} = 50 - 50 \cdot \cos (α)$
$0,5 = \cos (α)$
$α = 60 °$
Die Größe des Winkels $α$ beträgt 60°.
Alternative:
Das Dreieck $A B M$ ist gleichseitig, da alle Seitenlängen $5 cm$ betragen. Daher sind alle Innenwinkel $60^{\circ}$ .
Verwende den Kosinussatz für das allgemeine Dreieck.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org