Prüfungsteil 2 2021

Aufgabe 3: Muster

Jan möchte ein Muster aus rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken konstruieren. Er beginnt mit dem Dreieck $D_{1}$ (Abbildung 1).

Zeige mit einer Rechnung, dass die Länge der Hypotenuse von Dreieck $D_{1}$ ca. $4,243 c m$ beträgt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnung der Länge der Hypotenuse
Der Satz des Pythagoras lautet:
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
in dem gezeigten Dreieck $D_{1}$ gilt: $a = b = 3 c m$
Setze $3$ in die Formel ein und berechne die Hypotenuse $𝐜 .$
$c = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} c m \Rightarrow c = \sqrt{18} c m$
$c \approx 4,243 c m$
Die Länge der Hypotenuse von Dreieck $D_{1}$ beträgt ca. $4,243 c m$
Berechne die Hypotenuse des Dreiecks $D_{1}$ mit dem Satz des Pythagoras.

Jan setzt das Muster mit den beiden weiteren Dreiecken $D_{2}$ und $D_{3}$ fort (Abbildung 2).

Ergänze das Dreieck $D 4$ zeichnerisch in Abbildung 2. Beschreibe, wie du vorgegangen bist. (4 P)

Abbildung 2: Muster bis Dreieck $D_{3}$ zu Teilaufgabe b) - d)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Beschreibung	Zeichnung
Die Hypotenuse von $D_{3}$ wird eine der beiden Katheten von $D_{4}$ .
Trage am äußeren Punkt von $D_{3}$ einen rechten Winkel an. Hier entsteht die zweite Kathete von $D_{4}$ .
Miss die Länge der Hypotenuse von $D_{3}$ .
Zeichne die zweite Kathete von $D_{4}$ mit der gemessenen Länge ein.
Verbinde die beiden Katheten von $D_{4}$ zur Hypotenuse.

Begründe, wie viele Dreiecke gezeichnet werden können, ohne dass sich diese überschneiden. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise und Kreisteile
Skizze der Figur
Es können $8$ Dreiecke gezeichnet werden, ohne, dass sie sich überschneiden.
Begründung
Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, das bedeutet die Basiswinkel
betragen $45^{\circ}$ . Ein Vollkreis hat $360^{\circ}$ . Die Anzahl der Dreiecke ist dann: $\frac{360}{45} = 8.$
Siehe Skizze.
Die Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig, die Basiswinkel sind also $45^{\circ} .$
Ein Vollwinkel hat $360^{\circ}$ .
Berechne, wie oft $45$ in $360$ enthalten ist.
Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt von Dreieck $D_{2}$ doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt von Dreieck $D_{1}$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Skizze der Figur
Berechnen der Hypotenuse von Dreieck $D_{1}$
$H_{D_{1}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} \Rightarrow H_{D_{1}} = \sqrt{2 a^{2}}$
$H_{D_{1}} = a \sqrt{2}$
Berechnen des Flächeninhalts von Dreieck $D_{1}$
$A_{D_{1}} = \frac{a \cdot a}{2} \Rightarrow A_{D_{1}} = \frac{a^{2}}{2}$
$A_{D_{1}} = \frac{1}{2} \cdot a^{2}$
Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecks $D_{2}$
$A_{D_{2}} = \frac{a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow A_{D_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 a^{2}$
$A_{D_{2}} = a^{2}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D_{1}$ beträgt $\frac{1}{2} \cdot a^{2}$ ,
der Flächeninhalt des Dreiecks $D_{2}$ beträgt $a^{2} .$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D_{2}$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $D_{1}$ .
Die Hypotenuse von Dreieck $D_{1}$ wird zur Kathete von Dreieck $D_{2} .$ Berechne die Flächeninhalte beider Dreiecke und vergleiche sie.
Jan berechnet weitere Flächeninhalte der Dreiecke in seinem Muster (Abbildung 3) und hält die Ergebnisse in einer Tabelle fest.
Abbildung 3: Muster bis Dreieck $D_{5}$ verkleinert dargestellt
Begründe, dass kein Dreieck in dem Muster einen Flächeninhalt von genau $250 {c m}^{2}$ hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teiler und Vielfache
Die Flächeninhalte der Dreiecke in dem Muster sind ein Vielfaches von $4,5$ .
$250$ ist nicht ohne Rest durch $4,5$ teilbar.
$250 : 4,5 = 55, 5$
Überlege, ob $250$ ohne Rest durch $4,5$ teilbar ist.
Jan möchte das Muster aus Papier herstellen. Dazu schneidet er die einzelnen Dreiecke aus DIN-A4-Blättern ( $21 c m \times$ 29,7 cm) aus. Jan behauptet: „Auch das Dreieck $D_{8}$ kann ich aus einem einzigen DIN-A4-Blatt ausschneiden.“
Entscheide begründet, ob Jans Behauptung zutrifft. (3 P)

Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $D_{8}$
Die Fläche des Dreiecks $D_{8}$ berechnet sich:
$A_{D_{8}} = 4,5 \cdot 2^{7} = 576 c m^{2}$
Berechnen der Kathetenlänge des Dreiecks $D_{8}$
Die Kathete eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich:
$A_{D_{8}} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow a = \sqrt{2 \cdot A_{D_{8}}}$ einsetzen der Zahlenwerte
$a = \sqrt{2 \cdot 576 c m^{2}}$
$a \approx 33,94 c m$
Da die Länge der Kathete des Dreiecks $D_{8}$ ca. $33,94 c m$ , die längere Seite
eines DIN-A4-Blatts aber nur $29,7 c m$ beträgt, ist es nicht möglich das Dreieck $D_{8}$
aus einem einzigen DIN-A4-Blatt auszuschneiden.
Berechne die Kathetenlänge des Dreiecks $D_{8}$ und vergleich sie mit den Abmessungen eines DIN-A4-Blatts.