Teil 1 Analysis

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = [- 3; 3]$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion $g$ auf Symmetrie zum Koordinatensystem. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Symmetrieuntersuchung
Da alle Exponenten gerade sind, kann eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.
Eingeschränkte Definitionsmenge
Um final zu entscheiden, ob eine Symmetrie vorliegt, muss auch die Definitionsmenge passen.
Die Definitionsmenge $D_{g} = [- 3; 3]$ ist gleichmäßig um den Ursprung verteilt.
Somit liegt tatsächlich eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
Du kannst die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion untersuchen, indem du die Exponenten betrachtest oder -x in die Funktion einsetzt.
Beachte die eingeschränkte Definitionsmenge!
Ermitteln Sie alle Extremstellen der Funktion $g$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ableitung bestimmen
Bestimme die Ableitungsfunktion von $g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2}$
$g^{'} (x) = - x^{3} + 4 x$
Nullstellen der Ableitung
Setze die Ableitung mit $0$ gleich:
$g^{'} (x)$ $=$ $0$
$- x^{3} + 4 x$ $=$ $0$
↓
Du kannst x ausklammern.
$x (- x^{2} + 4)$ $=$ $0$
Nach dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei $x_{1} = 0$
Untersuche den anderen Faktor weiter:
$0$ $=$ $- x^{2} + 4$
$x^{2}$ $=$ $4$
↓
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
$x_{2}$ $=$ $2$
$x_{3}$ $=$ $- 2$
Die Funktion $g^{'}$ ist vom Grad 3 und hat maximal 3 Nullstellen. Somit muss jede Nullstelle die Vielfachheit 1 haben, also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.
An allen drei Nullstellen von $g^{'}$ liegen also Extremstellen von $g$ .
Um Extremstellen zu bestimmen, gehe wie folgt vor:
Bilde die erste Ableitung
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung
Weise nach, dass es sich um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel handelt (sonst: Terrassenpunkte)
Es ist nicht gefragt, die Art oder Lage der Extremstellen zu bestimmen!

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$g^{'} (x)$	$=$	$0$
$- x^{3} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Du kannst x ausklammern.
$x (- x^{2} + 4)$	$=$	$0$

$0$	$=$	$- x^{2} + 4$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
$x_{2}$	$=$	$2$
$x_{3}$	$=$	$- 2$

Teil 1 Analysis

Symmetrieuntersuchung

Eingeschränkte Definitionsmenge

Ableitung bestimmen

Nullstellen der Ableitung