Hilfsmittelfreier Teil

Aufgabe 1

In der Abbildung siehst du einen Würfel mit einer Kantenlänge von $4 c m$ .

In der Grundfläche werden die Mittelpunkte der Kanten zu einem Quadrat verbunden. Die Länge der Seite $n$ beträgt $\sqrt{8} c m$ .

Berechne das Volumen des Würfels. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
Lösung
Berechne das Volumen $V$ des Würfels, indem du die Kantenlänge von $4 c m$ für $a$ in die Formel einsetzt.
$V = (4 c m)^{3} \Rightarrow V = 64 c m^{3}$
Das Volumen des Würfels beträgt: $V = 64 c m^{3}$
Berechne das Volumen $V$ des Würfels, indem du die Kantenlänge von $4 c m$ für $a$ in die Formel einsetzt.
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels lautet:
$V = a^{3}$
Zeige durch eine Rechnung, dass die Länge der Seite $n$ tatsächlich $\sqrt{8} c m$ beträgt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Lösung
Die Punkte $m_{a}$ halbieren die Seiten des großen Quadrates.
Die so entstandenen Teildreiecke sind rechtwinklige Dreiecke.
Es gilt der Satz des Pythagoras:
Skizze zur Aufgabe
$n^{2} = 2^{2} + 2^{2} \Rightarrow n = \sqrt{4 + 4}$
$n = \sqrt{8} c m$
Die Länge der Seite $n$ beträgt $\sqrt{8} c m .$ Also stimmt die Behauptung.
Berechne die Länge von $n$ mit dem Satz des Pythagoras.
Das Quadrat mit den Seitenlängen $n$ wird zu einem Quader erweitert.
Berechne das Volumen dieses Quaders. (2 BE)
Skizze nicht maßstabsgerecht

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
Lösung
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders lautet:
$V = l \cdot b \cdot h$
Bei dem hier gezeigten Quader gilt: $l = b = n = \sqrt{8} c m$ .
$V = \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} \cdot 4 \Rightarrow V = 8 \cdot 4$
$V = 32 c m^{3}$
Das Volumen des Quaders beträgt $32 c m^{3} .$
Berechne das Volumen des Quaders mit der Formel $V = l \cdot b \cdot h$ .
Die Seiten auf der Grundfläche sind $\sqrt{8}$ $cm$ lang. (Aufgabe (b))
Begründe, dass Dirk Recht hat. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Lösung
Anfertigen der Skizze.
Die Grundfläche des großen Quadrates besteht aus acht gleich großen Dreiecken.
Die vier eingefärbten Dreiecke bilden die Grundseite des Quaders. Da der Quader und der Würfel gleich hoch sind, ist das Volumen des Quaders halb so groß wie das Volumen des Würfels.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org