Wahlteil - GTR

Aufgabe 1B

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_{a} (x) = e^{x} \cdot (x - a)^{2}$ mit $a \in ℝ$ .

Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

Der Graph von $f_{1}$ hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.
Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Wendepunkt mit negativer Steigung
Aus der Abbildung folgt, dass der Wendepunkt mit negativer Steigung eine positive x-Koordinate haben muss.
Zeichne den Graphen zu $f^{''} (x)$ und bestimme die positive Nullstelle.
Sie liegt bei etwa $0,4$ .
Berechne noch $f_{1} (0,4)$ , um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können: $f_{1} (0,4) \approx 0,5 \Rightarrow W P (0,4 | 0,5)$
Bestimmung der Steigung in diesem Wendepunkt
Es ist $f_{1}^{'} (0,4) \approx - 1,3$ .
Die Steigung in diesem Wendepunkt beträgt rund $- 1,3$ .
Aus der Abbildung folgt, dass der Wendepunkt mit negativer Steigung eine positive x-Koordinate haben muss.
Bestimme die positive Nullstelle von $f_{1}^{''} (x)$ .
Berechne von dieser positiven Nullstelle $f_{1} (x)$ .
Setze den zur negativen Wendepunktsteigung gehörenden $x$ -Wert in $f_{1}^{'} (x)$ ein, um die Steigung im Wendepunkt zu erhalten.
Jeder Graph von $f_{a}$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.
Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.
Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt des Graphen von $f_{a}$ ist. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $f_{a} (0)$ :
$f_{a} (0) = e^{0} (0 - a)^{2} = a^{2} \Rightarrow S_{y} (0 | a^{2})$
Für den Schnittpunkt mit der x-Achse berechne $f_{a} (x) = 0$ :
$0 = e^{x} \cdot (x - a)^{2}$
Da $e^{x}$ immer ungleich null ist, muss $(x - a)^{2} = 0$ sein. $\Rightarrow x_{1,2} = a$
$\Rightarrow N_{1,2} (a | 0)$
Begründung, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt des Graphen von f ist
Für die Funktion $f_{a} (x)$ gilt, dass sie für alle $x$ größer oder gleich null ist.
Der Punkt $(a | 0)$ muss demnach der Tiefpunkt sein.
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $f_{a} (0)$ .
Für den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechne $f_{a} (x) = 0$ .
Beachte, dass $f_{a} (x)$ für alle $x$ größer oder gleich null ist. Was bedeutet das für die gefundene Nullstelle?
Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_{a}$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: $(a - 2 | 4 e^{a - 2})$
Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Wert von $a$ , für den dieses Dreieck gleichschenklig ist
Gegeben sind die Koordinaten der beiden Extrempunkte.
Nach Aufgabe b) gilt für den Tiefpunkt $T P (a | 0)$ .
Der Hochpunkt ist gegeben durch $H P (a - 2 | 4 e^{a - 2})$ .
Damit das Dreieck gleichschenklig wird, muss die Steigung der Geraden gleich $- 1$ sein.
$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{4 \cdot e^{a - 2} - 0}{a - 2 - a} = - 2 \cdot e^{a - 2} = - 1$
$- 2 \cdot e^{a - 2}$ $=$ $- 1$ $: (- 2)$
$e^{a - 2}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln$
$a - 2$ $=$ $\ln 0,5$ $+ 2$
$a$ $=$ $2 + \ln 0,5$
Für $a = \ln (0,5) + 2 = 2 - \ln 2 \approx 1,307$ ist dieses Dreieck gleichschenklig.
Bestimme die Steigung der Geraden durch die beiden Extrempunkte.
Damit das Dreieck gleichschenklig wird, muss die Steigung der Geraden gleich $- 1$ sein.
Für jeden Wert von $a$ gilt: $f_{a} (a) = 0$ und $f_{a}^{'} (a) = 0$ und $f_{a}^{''} (a) \neq 0$
Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_{a}$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion, Integral und Flächenberechnung
Bedeutung für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_{a}$ an
Wenn $F_{a} (x)$ eine Stammfunktion von $f_{a} (x)$ ist, dann gilt nach Aufgabenstellung:
$F_{a}^{'} (a) = f_{a} (a) = 0 \Rightarrow$ Die Stammfunktion hat an der Stelle $x = a$ eine waagrechte Tangente.
$F_{a}^{''} (a) = f_{a}^{'} (a) = 0 \Rightarrow$ An der Stelle $x = a$ hat der Graph der Stammfunktion einen Wendepunkt, da hier auch gilt, dass $F_{a}^{'''} (a) = f_{a}^{''} (a) \neq 0$ ist.
Somit hat der Graph der Stammfunktion $F_{a} (x)$ an der Stelle $x = a$ eine waagrechte Wendetangente. Es handelt sich hier um einen Terrassen- oder Sattelpunkt.
Es ist $F_{a}^{'} (x) = f_{a} (x)$ , $F_{a}^{''} (x) = f_{a}^{'} (x)$ und $F_{a}^{'''} (x) = f_{a}^{''} (x)$ .
Untersuche, welche Werte die Ableitungen der Stammfunktion jeweils für $x = a$ annehmen und schließe dann auf mögliche besondere Punkte des Graphens der Stammfunktion.
Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen von $f_{a}^{'}$ und $f_{a}^{''}$ .
Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie und Extrema
Welcher Graph gehört zu welcher Ableitungsfunktion
Der Graph I hat eine positive Nullstelle. Bei dieser positiven Nullstelle hat der Graph II ein Extremum (TP). Demnach muss der Graph 1 zu $f_{a}^{''}$ und der Graph II zu $f_{a}^{'}$ gehören.
Der Graph II kommt als Ableitungsfunktion von Graph I nicht infrage, da an der Stelle, an der der Graph I einen Tiefpunkt hat, der Graph II keine Nullstelle hat.
Betrachte die positive Nullstelle von Graph I. An dieser Stelle hat Graph II einen Tiefpunkt.
Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen $h$ und $k$ beschrieben:
$h (x) = 20 \cdot \sin (x)$ für $0 \leq x \leq 2$
$k (x) = 20 \cdot \sin (x - 2) + 20 \cdot \sin (2)$
für $2 \leq x \leq 4$
Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. $h (x)$ und $k (x)$ geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.
Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $h$ und $k$ .
Abbildung 3
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.
(6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat
Der größte Schalldruckpegel wird im Verlauf der Funktion $k (x)$ erreicht, d.h. für $2 < x < 4$ .
Aus $k^{'} (x) = 0 \Rightarrow x \approx 3,6$
Nach etwa $3,6$ Sekunden wird der größte Schalldruckpegel erreicht.
Der größte Schalldruckpegel wird im Verlauf der Funktion $k (x)$ erreicht.
Bestimme die Maximumstelle dieser Funktion.
Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.
Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Größter Abstand
In der Abbildung sind für den Graphen von $h$ zwei Beispiele eingezeichnet, bei denen ein gleicher Schalldruckpegel vorliegt. Dabei wird deutlich, dass der Punkt $A$ zu diesem größten Abstand gehören muss.
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A (2 | 20 \cdot \sin (2))$ . Gesucht sind nun die Koordinaten des Punktes $B$ , wobei $B$ den gleichen y-Wert wie der Punkt $A$ hat.
Die Differenz $x_{A} - x_{B}$ ist der gesuchte Abstand.
Bestimmung Punkt $B$
$B$ hat den gleichen y-Wert wie der Punkt $A$ $\Rightarrow$ $y = 20 \cdot \sin (2) \approx 18,1859$
Gesucht ist jetzt die x-Koordinate von $B \Rightarrow 18,1859 = 20 \cdot \sin (x)$ .
$\Rightarrow \sin (x) = \frac{18,1859}{20} \approx 0,9093$ oder $x = \sin^{- 1} (0,9093) \approx 1,1416$
Differenz $x_{A} - x_{B}$
Der größte Abstand hat dann die Länge:
$x_{A} - x_{B} = 2 - 1,1416 = 0,8584 \approx 0,86 s$ .
Ein Punkt $A \in h$ hat die Koordinaten $A (2 | 20 \cdot \sin (2))$ .
Gesucht sind nun die Koordinaten des Punktes $B$ , wobei $B$ den gleichen $y$ -Wert wie der Punkt $A$ hat.
Die Differenz $x_{A} - x_{B}$ ist der gesuchte Abstand.
Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $k$ : (6 BE)
Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ im Intervall $[a; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:
- Das Rechteck hat die Breite $b - a$ .
- Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Berechnung des Mittelwerts
Die Funktion $k$ ist im Intervall $[2; 4]$ definiert.
Die Fläche eines Rechtecks $A$ ist Höhe $h$ mal Breite, wobei das Rechteck die Breite $4 - 2 = 2$ hat. $\Rightarrow A = h \cdot 2$
Weiterhin gilt:
Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $2 \leq x \leq 4$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.
$\Rightarrow A = \int_{2}^{4} k (x) d x = \int_{2}^{4} (20 \cdot \sin (x - 2) + 20 \cdot \sin (2)) d x$
Der GTR liefert als Ergebnis: $A = 64,6948 FE$
$\Rightarrow 64,6948 = h \cdot 2$ bzw. $h \approx 32,35$
Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ entspricht der berechneten Höhe $32,35$ .
Alternative Berechnung des Mittelwertes
Für den Mittelwert gilt allgemein:
$\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} k (x) d x$
Mit den Grenzen $a = 2$ und $b = 4$ folgt dann:
$\frac{1}{4 - 2} \cdot \int_{2}^{4} k (x) d x = \frac{1}{2} \cdot 64,6948 \approx 32,35$
Die Funktion $k$ ist im Intervall $[2; 4]$ definiert.
Die Fläche eines Rechtecks $A$ ist Höhe $h$ mal Breite, wobei das Rechteck die Breite $4 - 2 = 2$ hat.
Weiterhin ist $A = \int_{2}^{4} k (x) d x$ . Die beiden Flächeninhalte sind gleich groß.
Berechne durch Gleichsetzen der beiden Flächeninhalte die Höhe $h$ . Dies ist der gesuchte Mittelwert.