Teil 2

Die Abbildung zeigt eine zusammengesetzte Figur, die aus einem Halbkreis und einem rechtwinkligen Dreieck besteht.

(Skizze nicht maßstäblich) Quelle: MK Niedersachsen — (Skizze nicht maßstäblich)
Quelle: MK Niedersachsen

Berechne die Länge der Strecke a. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Lösung
Im rechtwinkligen Dreieck gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$a^{2} + 8^{2}$ $=$ $12^{2}$ $- 8^{2}$
↓
Gleichung nach $a$ umstellen
$a^{2}$ $=$ $12^{2} - 8^{2}$ $\sqrt{}$
$a$ $=$ $\sqrt{12^{2} - 8^{2}}$
$=$ $8,944...$
↓
Runden
$\approx$ $8,94$
Verwende den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck.
Bestimme $a$ aus dieser Gleichung.
Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten Figur. (Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit a = 8,34 cm.) (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt von Figuren
Lösung
Für $a = 8,94 cm$
Für das rechtwinklige Dreieck gilt:
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot 8$
$=$ $35,76 c m^{2}$
Die Fläche des Halbkreises ist:
$A_{H a l b k r e i s}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2}$
↓
Der Radius $r$ ist die Hälfte von $a$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{8,94}{2})}^{2}$
$=$ $31,385...$
$\approx$ $31,39 c m^{2}$
Zusammengesetzt ist die Fläche der Figuren:
$A_{gesamt} = A_{Δ} + A_{Halbkreis} \approx 67,15 {cm}^{2}$
VorsichtRunden
Durch Runden und weiterrechnen mit gerundeten Ergebnissen kann es zu kleinen Abweichungen kommen.
Bestimme die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks.
Bestimme die Fläche des Halbkreises.
Addiere die beiden Flächeninhalte.
Der Flächeninhalt der Figur soll viermal so groß werden.
Kreuze die richtige Aussage an. (1 BE)
Damit der Flächeninhalt der Figur viermal so groß wird, müssen alle Längen …
- verdoppelt werden.
- verdreifacht werden.
- vervierfacht werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Lösung
Damit $A$ sich vervierfacht, müssen sich die Seitenlängen verdoppeln.
Erklärung
Für die Fläche des Halbkreises gilt: $A_{Halbkreis}^{'} = π \cdot (2 \cdot r)^{2} = π \cdot 4 \cdot r^{2}$
$\to$ Die Fläche vervierfacht sich, wenn der doppelte Radius verwendet wird.
Beim Dreieck gilt: $A_{Δ}^{'} = \frac{1}{2} \cdot (2 g) \cdot (2 h) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot g \cdot h$
$\to$ Auch hier vervierfacht sich die Fläche, wenn jede Seite doppelt so lang ist.
Die Fläche des Halbkreises ist $A_{Halbkreis} = \frac{1}{2} π r^{2}$ .
Was passiert mit $A_{Halbkreis}$ , wenn sich die Seitenlängen jeweils verdoppeln/verdreifachen... ?
Die Fläche eines Dreiecks ist $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Was passiert mit $A_{Δ}$ , wenn sich die Seitenlängen jeweils verdoppeln/verdreifachen... ?

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$a^{2} + 8^{2}$	$=$	$12^{2}$	$- 8^{2}$
	↓	Gleichung nach $a$ umstellen
$a^{2}$	$=$	$12^{2} - 8^{2}$	$\sqrt{}$
$a$	$=$	$\sqrt{12^{2} - 8^{2}}$
	$=$	$8,944...$
	↓	Runden
	$\approx$	$8,94$

$A_{H a l b k r e i s}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2}$
	↓	Der Radius $r$ ist die Hälfte von $a$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{8,94}{2})}^{2}$
	$=$	$31,385...$
	$\approx$	$31,39 c m^{2}$