Wahlteil

Wahlaufgabe 3 - Trigonometrie

Eine Bergbahn im Harz fährt von einer Talstation zu einer Bergstation. Danny hat eine Skizze gezeichnet und einige Streckenlängen eingetragen.

Berechne den Höhenunterschied $h$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck in der Skizze gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$h^{2} + {5,53}^{2}$ $=$ ${5,57}^{2}$ $- {5,53}^{2}$
$h^{2}$ $=$ ${5,57}^{2} - {5,53}^{2}$ $\sqrt{}$
$h$ $=$ $\sqrt{{5,57}^{2} - {5,53}^{2}}$
$=$ $0,666...$
$\approx$ $0,67 k m$
Der Höhenunterschied $h$ beträgt damit rund $0,67 km$ .
Verwende den Satz des Pythagoras, um $h$ im rechtwinkligen Dreieck auszurechnen.
Danny hat den Steigungswinkel $α$ der Bergbahn berechnet. Sein Ergebnis für $α$ ist ungefähr $7 °$ .
Bestätige mithilfe einer Rechnung, dass Dannys Ergebnis richtig ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Im Dreieck gilt mit dem Kosinus:
$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
↓
$\cos α$ $=$ $\frac{5,53}{5,57}$ $\cos^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\cos^{- 1} (\frac{5,53}{5,57})$
$=$ $6,870...$
$\approx$ $6,87 °$
Dannys Ergebnis ist damit ungefähr richtig.
Verwende die Seitenlängen und die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, um $h$ zu berechnen.
Eine Bergbahn in den Alpen hat eine Steigung von 9 %. (3 BE)
Entscheide mithilfe einer Rechnung, welche Bergbahn die größere Steigung hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Eine $9 %$ -ige Steigung entspricht dem Aufbau dieser Skizze.
In diesem rechtwinkligen Dreieck kann mit Tangens der Winkel berechnet werden:
$\tan β$ $=$ $\frac{9}{100}$ $\tan^{- 1} ()$
$β$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{9}{100})$
$=$ $5,142...$
$\approx$ $5,14 °$
Skizze mit $9 %$ .
Dieser Winkel ist kleiner als im oberen Dreieck. Die erste Bergbahn hatte also eine größere Steigung.
Eine $9 %$ -ige Steigung entspricht einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Grundseite von $100 m$ und einem Höhenunterschied von $9 m$ .
Hier kann mit dem Tangens der Winkel berechnet werden.
Danny behauptet: „Die Steigung einer Strecke kann höchstens $100 %$ betragen.“
Zeige, dass Dannys Behauptung falsch ist. (1 BE)
$100 %$ Steigung entspricht dem Aufbau dieser Skizze.
Da dies ein gleichschenkliges Dreieck mit rechtem Winkel ist, beträgt der Winkel $γ$ $45 °$ .
Definitiv kann der Winkel größer sein als $45 °$ . Dannys Behauptung ist falsch.
Skizze mit $100 %$ .
Welchem rechtwinkligen Dreieck entspricht der Aufgabe mit $100 %$ Steigung?
Bestimme den Winkel dieses Dreiecks. Kann der Winkel noch größer werden?
Damit Züge in Kurven schneller fahren können, werden die Gleise etwas geneigt. Die maximale Geschwindigkeit hängt vom Neigungswinkel $α$ ab.
Bestimme die maximale Geschwindigkeit, mit der ein Zug bei einem Höhenunterschied von $u = 217 mm$ durch die Kurve fahren darf. (2 BE)
Im rechtwinkligen Dreieck gilt mit Sinus:
$\sin α$ $=$ $\frac{217}{1435}$ $\sin^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{217}{1435})$
$=$ $8,697...$
$\approx$ $8,70 °$
Dieser Winkel liegt in der dritten Zeile der Tabelle. Die maximale Geschwindigkeit ist damit $90 \frac{k m}{h}$ .
Bestimme den Winkel $α$ mit einer Winkelfunktion.
Vergleiche mit den Werten in der Tabelle und gib die max. Geschwindigkeit an.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$h^{2} + {5,53}^{2}$	$=$	${5,57}^{2}$	$- {5,53}^{2}$
$h^{2}$	$=$	${5,57}^{2} - {5,53}^{2}$	$\sqrt{}$
$h$	$=$	$\sqrt{{5,57}^{2} - {5,53}^{2}}$
	$=$	$0,666...$
	$\approx$	$0,67 k m$

$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
	↓
$\cos α$	$=$	$\frac{5,53}{5,57}$	$\cos^{- 1} ()$
$α$	$=$	$\cos^{- 1} (\frac{5,53}{5,57})$
	$=$	$6,870...$
	$\approx$	$6,87 °$

$\tan β$	$=$	$\frac{9}{100}$	$\tan^{- 1} ()$
$β$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{9}{100})$
	$=$	$5,142...$
	$\approx$	$5,14 °$

$\sin α$	$=$	$\frac{217}{1435}$	$\sin^{- 1} ()$
$α$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{217}{1435})$
	$=$	$8,697...$
	$\approx$	$8,70 °$