Wahlteil

Wahlaufgabe 1 - Körperberechnung

Die Abbildung zeigt einen kugelförmigen Gasspeicher in Braunschweig. Er hat den Außendurchmesser $d = 27 m$ .

Berechne die Oberfläche des kugelförmigen Gasspeichers. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Kugel
Der Radius des kugelförmigen Gasspeichers beträgt: $r = \frac{d}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 m$
$O$ $=$ $4 π r^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ $4 π {13,5}^{2}$
$=$ $2290,221...$
$\approx$ $2290,22 m^{2}$
Berechne die Oberfläche der Kugel mit der Formel: $O = 4 π r^{2}$
Der Pfeil zeigt auf einen Ring, der kreisförmig um die Mitte des Gasspeichers verläuft. Der Ring ist $90 m$ lang.
Berechne den Abstand zwischen dem Gasspeicher und dem Ring. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Radius des Ringes
Mit einem Umfang des Ringes von $U = 90 m$ ergibt sich der Radius:
$U$ $=$ $2 π r$ $: 2 π$
$r$ $=$ $\frac{U}{2 π}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{90}{2 π}$
$=$ $14,323...$
$\approx$ $14,32 m$
Vergleich der Radien
Der Ring hat einen Radius von $14,32 m$ . Der Abstand beträgt somit
$14,32 - 13,5 = 0,82 m .$
Berechne den Radius des Ringes
Vergleiche den Radius des Ringes mit dem Radius der Kugel.
Für Reparaturarbeiten am Gasspeicher wird ein Kran aufgestellt. (2 BE)
Berechne die Länge der Strecke x.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$x^{2} + 17^{2}$ $=$ $19^{2}$ $- 17^{2}$
$x^{2}$ $=$ $19^{2} - 17^{2}$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\sqrt{19^{2} - 17^{2}}$
$=$ $8,485...$
$\approx$ $8,49 m$
Der Kran muss in einem Abstand von $8,49 m$ platziert werden.
Verwende den Satz des Pythagoras, um $x$ im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.
Die Metallwand des Gasspeichers ist $0,03 m$ dick.
Berechne das innere Volumen des Gasspeichers. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
$V$ $=$ $\frac{4}{3} π r^{3}$
↓
$r = 13,5 m - 0,03 m = 13,47 m$
$=$ $\frac{4}{3} π {13,47}^{3}$
$=$ $10237,440...$
↓
Runden
$\approx$ $10237,44 m^{3}$
Berechne das Volumen der Kugel. Verwende dabei den verkleinerten Radius, der um $0,03 m$ kleiner ist.
Der Radius eines anderen kugelförmigen Gasspeichers ist $\sqrt[3]{2}$ - mal so groß wie der Radius des Gasspeichers in Braunschweig.
Zeige mithilfe einer Rechnung, dass das Volumen dieses Gasspeichers doppelt so groß ist. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
Das vergrößerte Volumen ist
$V^{'}$ $=$ $\frac{4}{3} π r^{' 3}$
↓
$r^{'} = \sqrt[3]{2} \cdot r$
$=$ $\frac{4}{3} π {(\sqrt[3]{2} \cdot r)}^{3}$
↓
Potenzgesetze
$=$ $\frac{4}{3} π \cdot {\sqrt[3]{2}}^{3} \cdot r^{3}$
$=$ $\frac{4}{3} π \cdot 2 \cdot r^{3}$
Das Volumen enthält jetzt einen Faktor $2$ . Damit ist es doppelt so groß, sobald der Radius um das $\sqrt[3]{2}$ -fache vergrößert ist.
Das Volumen muss gar nicht genau ausgerechnet werden.
Verwende die Formel für das Volumen: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
Setze anstelle von $r$ in Klammern $(\sqrt[3]{2})$ ein.
Verwende die Potenzgesetze, um einen Faktor $2$ in der Volumenformel zu erhalten.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$O$	$=$	$4 π r^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$4 π {13,5}^{2}$
	$=$	$2290,221...$
	$\approx$	$2290,22 m^{2}$

$U$	$=$	$2 π r$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 π}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{90}{2 π}$
	$=$	$14,323...$
	$\approx$	$14,32 m$

$x^{2} + 17^{2}$	$=$	$19^{2}$	$- 17^{2}$
$x^{2}$	$=$	$19^{2} - 17^{2}$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\sqrt{19^{2} - 17^{2}}$
	$=$	$8,485...$
	$\approx$	$8,49 m$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} π r^{3}$
	↓	$r = 13,5 m - 0,03 m = 13,47 m$
	$=$	$\frac{4}{3} π {13,47}^{3}$
	$=$	$10237,440...$
	↓	Runden
	$\approx$	$10237,44 m^{3}$

$V^{'}$	$=$	$\frac{4}{3} π r^{' 3}$
	↓	$r^{'} = \sqrt[3]{2} \cdot r$
	$=$	$\frac{4}{3} π {(\sqrt[3]{2} \cdot r)}^{3}$
	↓	Potenzgesetze
	$=$	$\frac{4}{3} π \cdot {\sqrt[3]{2}}^{3} \cdot r^{3}$
	$=$	$\frac{4}{3} π \cdot 2 \cdot r^{3}$

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Wahlaufgabe 1 - Körperberechnung

Radius des Ringes

Vergleich der Radien