Teil 1 Analysis

Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen

$x^{3} - 2 x^{2} + x = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$x^{3} - 2 x^{2} + x$ $=$ $0$
↓
Da auf der linken Seite in jedem Summand ein x vorkommt, kannst du ausklammern.
$x (x^{2} - 2 x + 1)$ $=$ $0$
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann 0 wird, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Betrachte also die Faktoren einzeln:
$x = 0$ oder $x^{2} - 2 x + 1 = 0$
Der vordere Teil ist bereits fertig. $x = 0$ ist eine Lösung.
Weiter geht es mit dem hinteren Teil:
Die Mitternachtsformel funktioniert, aber am einfachsten ist die 2. binomische Formel
↓
$x^{2} - 2 x + 1$ $=$ $0$
↓
2. binomische Formel $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$
${(x - 1)}^{2}$ $=$ $0$
Eine weitere Lösung liegt also bei $x - 1 = 0$ , also bei $x = 1$ .
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {0; 1}$ .
Prüfe zunächst, ob du ausklammern kannst.
Da du keine Hilfsmittel zur Verfügung hast, musst du die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) entweder auswendig können oder die binomische Formel erkennen.
$(e^{x} - 2)^{2} - 4 = 0$

${(e^{x} - 2)}^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
${(e^{x} - 2)}^{2}$ $=$ $4$
↓
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt
$e^{x} - 2$ $=$ $\pm 2$
Betrachte jede Gleichung einzeln
Zuerst $e^{x} - 2 = - 2$
↓
$e^{x} - 2$ $=$ $- 2$ $+ 2$
$e^{x}$ $=$ $0$
Diese Gleichung hat keine Lösung, denn $e^{x} > 0$ (der Graph verläuft stets über der x-Achse)
Als nächstes $e^{x} - 2 = 2$
↓
$e^{x} - 2$ $=$ $2$ $+ 2$
$e^{x}$ $=$ $4$
↓
Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus aus.
$x$ $=$ $\ln 4$
Es gibt also nur eine Lösung: $x = \ln 4$
Es gibt mehrere Wege zum Ziel. Ohne Hilfsmittel ist es jedoch am einfachsten, die Gleichung umzuformen.
Achtung: Wenn man die Klammer ausmultipliziert, muss man das Substitutionsverfahren verwenden. Diese Lösung zeigt einen alternativen Weg.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$x^{3} - 2 x^{2} + x$	$=$	$0$
	↓	Da auf der linken Seite in jedem Summand ein x vorkommt, kannst du ausklammern.
$x (x^{2} - 2 x + 1)$	$=$	$0$

Die Mitternachtsformel funktioniert, aber am einfachsten ist die 2. binomische Formel
	↓
$x^{2} - 2 x + 1$	$=$	$0$
	↓	2. binomische Formel $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$0$

${(e^{x} - 2)}^{2} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
${(e^{x} - 2)}^{2}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt
$e^{x} - 2$	$=$	$\pm 2$

Zuerst $e^{x} - 2 = - 2$
	↓
$e^{x} - 2$	$=$	$- 2$	$+ 2$
$e^{x}$	$=$	$0$

Als nächstes $e^{x} - 2 = 2$
	↓
$e^{x} - 2$	$=$	$2$	$+ 2$
$e^{x}$	$=$	$4$
	↓	Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus aus.
$x$	$=$	$\ln 4$