Teil B

geg.: Pyramide $ABCDS$; $G_{PyramideABCD}$ ist eine Raute mit $A_{Raute}=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$ oder

$A_{Raute}=a\cdot h_a$ ; $|\overline{AC}|=11cm;|\overline{BD}|=6cm;$ Höhe $|\overline{AS}|=9cm$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$; Länge der Strecke $|\overline{CS}|$; $\measuredangle SCA$

Zeichnung Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline{AC}$

$A$ links von $C$; $q=\frac{1}{2}$; $\omega =45°$ $\Rightarrow |\overline{BD}{|}_{inZeichnung}=\frac{1}{2}\cdot 6=3cm$

Berechnung Länge der Strecke $|\overline{CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline{AC}{|}^2+|\overline{AS}{|}^2=|\overline{CS}{|}^2$

$\Rightarrow |\overline{CS}|=\sqrt{|\overline{AC}{|}^2+|\overline{AS}{|}^2}$

$\Rightarrow |\overline{CS}|=\sqrt{{11}^2+9^2}=\sqrt{121+81}=\sqrt{202}=\mathrm{𝟏𝟒,𝟐𝟏}𝐜𝐦$

Berechnung $\measuredangle SCA$ mit Tangens:

$\tan \measuredangle SCA=\frac{GK}{HY}=\frac{AS}{AC}=\frac{9cm}{11cm}=0,\overline{81}$

$\Rightarrow \measuredangle 𝐒𝐂𝐀=\mathrm{𝟑𝟗,𝟐𝟗}°$

geg.: $|\overline{S{P}_n}|(x)=xcm$, mit $c\in R;0\le x\le \mathrm{14,21}$ (siehe Aufgabe B 4a)

$P_n\in \overline{CS}$ sind die Spitzen von $ABD{P}_n$ mit Höhe $=\overline{P_n{F}_n}$

ges.: Zeichnung Pyramide $ABD{P}_1$ für $x=3$, Höhe $=\overline{P_1{F}_1}$ und $\measuredangle S{P}_{1}A$

Einzeichnen der Pyramide $ABD{P}_1$ für $x=3$ und der Höhe $=\overline{P_1{F}_1}$ siehe Graphik

Berechnung $\measuredangle S{P}_{1}A$ mithilfe Sinussatz:

$\Rightarrow \frac{𝐬𝐢𝐧\measuredangle 𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐀}{|\overline{𝐀𝐒}|}=\frac{𝐬𝐢𝐧\measuredangle 𝐀𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}{|\overline{𝐀{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}|}$

die noch fehlenden Größen $\measuredangle AS{P}_1$ und $|\overline{A{P}_1}|$ werden wie folgt berechnet:

$$a) $\measuredangle AS{P}_1=180°-90°-\mathrm{39,29}°\Rightarrow \measuredangle AS{P}_1=\mathrm{50,71}°$

$$b) $|\overline{A{P}_1}|$ mithilfe Kosinusssatz: $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \text{⁡}(\alpha )$

$\Rightarrow |\overline{A{P}_1}{|}^2=|\overline{AS}{|}^2+|\overline{S{P}_1}{|}^2-2\cdot |\overline{AS}|\cdot |\overline{S{P}_1}|\cdot \cos (\mathrm{50,71}°)$

$$Einsetzen der Werte und berechnen:

$|\overline{A{P}_1}|=\sqrt{9^2+3^2-2\cdot 9\cdot 3\cdot \cos (\mathrm{50,71}°)}$ , mit $\cos (\mathrm{50,71}°)=\mathrm{0,63325}$

$|\overline{A{P}_1}|=\sqrt{81+9-54\cdot \mathrm{0,63325}}$

$\Rightarrow |\overline{𝐀{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}|=\sqrt{90-\mathrm{34,20}}=\sqrt{\mathrm{55,80}}=\mathrm{7,46994}\approx \mathrm{𝟕,𝟒𝟕}𝐜𝐦$

$$c) Anwendung Sinussatz auf $\measuredangle S{P}_{1}A$:

$\Rightarrow \frac{𝐬𝐢𝐧\measuredangle 𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐀}{|\overline{𝐀𝐒}|}=\frac{𝐬𝐢𝐧(\mathrm{𝟓𝟎,𝟕𝟏}°)}{\mathrm{𝟕,𝟒𝟕}𝐜𝐦}$ mit $\sin \text{⁡}(\mathrm{50,71}°)=\mathrm{0,77395}$

$$Werte einsetzen und nach $\sin \measuredangle S{P}_{1}A$ auflösen:

$\Rightarrow \sin \measuredangle S{P}_{1}A=\frac{\sin (\mathrm{50,71}°)\cdot 9}{\mathrm{7,47}}=\frac{\mathrm{0,77395}\cdot 9}{\mathrm{7,47}}=\mathrm{0,93247}$

$\Rightarrow \measuredangle 𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐀=\mathrm{𝟔𝟖,𝟖𝟐}°\vee \mathrm{𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟖}°$

$$gem. Zeichnung ist nur $\measuredangle 𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐀>\mathrm{𝟗𝟎}°$ relevant: $\Rightarrow \measuredangle 𝐒{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐀=\mathrm{𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟖}°$

ges.: Volumen der Pyramide $ABD{P}_n(x)$

Ansatz und Rechnung:

Volumen einer Pyramide: $𝐕=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot 𝐆\cdot 𝐡$

Volumen der Pyramide $ABD{P}_n$ siehe Graphik

mit $G_{△ADB}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot \frac{|\overline{AC}|}{2}$ und $h=\overline{P_n{F}_n}$

$\Rightarrow V_{ADB{P}_n}=\frac{1}{3}\cdot G_{△ADB}\cdot h$

$\Rightarrow V_{ADB{P}_n}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot \frac{|\overline{AC}|}{2}\cdot \overline{P_n{F}_n}$

hierbei sind $|\overline{BD}|=6cm$ und $\frac{|\overline{AC}|}{2}=\frac{11}{2}=\mathrm{5,5}cm$

die noch fehlende Größe $\overline{P_n{F}_n}$ wird wie folgt berechnet:

$\frac{|\overline{P_n{F}_n}|}{|\overline{AS}|}=\frac{P_{n}C-x}{|\overline{CS}|}\Rightarrow \frac{|\overline{P_n{F}_n}|}{9cm}=\frac{\mathrm{14,21}cm-x}{\mathrm{14,21}cm}$mit $x\in R;0\le x\le \mathrm{14,21}$

$|\overline{P_n{F}_n}|=\frac{9cm\cdot (\mathrm{14,21}cm-x)}{\mathrm{14,21}cm}$

$|\overline{{𝐏}_{𝐧}{𝐅}_{𝐧}}|=\frac{9cm\cdot \mathrm{14,21}cm}{\mathrm{14,21}cm}-\frac{9cm\cdot xcm}{\mathrm{14,21}cm}=(\mathrm{𝟗}-\mathrm{𝟎,𝟔𝟑}\cdot 𝐱)𝐜𝐦$

Werte einsetzen in Volumenformel ${𝐕}_{𝐀𝐃𝐁{𝐏}_{𝐧}}$:

$\Rightarrow V(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{11}{2}\cdot (9-\mathrm{0,63}\cdot x)c{m}^3$

$\Rightarrow V(x)=\mathrm{5,5}\cdot (9-\mathrm{0,63}\cdot x)c{m}^3$

$\Rightarrow V(x)=(\mathrm{49,50}-\mathrm{3,47}\cdot x)c{m}^3$ $$|umstellen

$\Rightarrow 𝐕(𝐱)=(-\mathrm{𝟑,𝟒𝟕}\cdot 𝐱+\mathrm{𝟒𝟗,𝟓𝟎})𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$ $$q.e.d.

Volumen der Pyramide: $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

$G=\frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot |\overline{AC}|$; mit $|\overline{BD}|=6cm$; $|\overline{AC}|=11cm$; $h=|\overline{AS}|=9cm$

$\Rightarrow V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{AS}|c{m}^3$

Werte einsetzen:

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 11\cdot 9=\mathrm{𝟗𝟗}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

20 % des Volumens von $V_{ABCDS}$ gegenüberstellen mit $V(x)$ aus Aufgabe B 4.c und daraus den $x-$Wert berechnen.

x-wert berechnen

$\Rightarrow \mathrm{𝟎,𝟐}\cdot {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=𝐕(𝐱{)}_{𝐀𝐁𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟐}}}$

$\Rightarrow \mathrm{0,2}\cdot 99c{m}^3=(-\mathrm{3,47}\cdot x+\mathrm{49,5})c{m}^{3}x\in R0\le x\le \mathrm{14,21}$

$\Rightarrow -\mathrm{3,47}\cdot x+\mathrm{49,5}=\mathrm{19,8}$

$\Rightarrow -\mathrm{3,47}\cdot x=\mathrm{19,8}-\mathrm{49,5}$

$\Rightarrow -\mathrm{3,47}\cdot x=-\mathrm{29,7}$

$\Rightarrow 𝐱=\frac{-\mathrm{29,7}}{-\mathrm{3,47}}=\mathrm{8,559}\approx \mathrm{𝟖,𝟓𝟔}$ $𝕃=\{\mathrm{𝟖,𝟓𝟔}\}$

Begründung

Für die Pyramide $V_{ADB{P}_0}$ gilt $P_0\stackrel{\wedge}{=}S$ .

Also haben die Pyramiden $ABCDS$ und $ABD{P}_0$ die gleiche Höhe $|\overline{AS}|$.

Weil die Grundfläche $A_{△ABD}$ nur die Hälfte von $A_{△ABCD}$ ist, gilt folglich:

${𝐕}_{𝐀𝐁𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟎}}}=\mathrm{𝟎,𝟓}\cdot {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}$