Teil B

Aufgabe B1

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $AB$ und des Kreisbogens $\overset{⌢}{B}$ . Die Punkte $P, Q$ und $R$ liegen auf dem Kreisbogen $\overset{⌢}{B}$ und bilden zusammen mit dem Punkt $M$ das Drachenviereck $MPQR$ mit der Symmetrieachse $MQ$ (siehe Skizze).

Es gilt: $A M = 4 c m$ ; $∢ Q M A = 90^{\circ}; ∢ P M R = 100^{\circ}$ .

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Strecke $AB$ , den Kreisbogen $\overset{⌢}{AB}$ sowie das Drachenviereck $MPQR$ . (2 P)
geg.: $| A M | = 4 c m$ ; $∡ Q M A = 90 °$ ; $∡ P M R = 100 °$ ; $e ≙ M Q = 4 c m$
ges.: Zeichnen von $A B$ , $\overset{⌢}{AB}$ , Drachenviereck $M P Q R$
Vollständige Zeichnung
Halbkreis mit einbeschriebenem Drachenviereck $M P Q R$
Zeichne zuerst die Strecke $A B$ mit der richtigen Länge.
Zeichne den Kreisbogen, wobei im Punkt $M$ , in der Mitte der Strecke, eingestochen wird.
Zeichne die Strecken $R M$ und $P M$ im vorgegebenen Winkel und verbinde die Punkte $M P Q R$ zu einem Drachen.
Berechnen Sie den Umfang des Drachenvierecks $MPQR$ . (2 P)
$[$ Ergebnis: $U = 14,76 c m$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Umfang des Drachenvierecks MPQR
$U_{D r a c h e n v i e r e c k} = 2 \cdot (a + b)$
$\Rightarrow 𝐔_{𝐌 𝐏 𝐐 𝐑} = 𝟐 \cdot (| 𝐌 𝐏 | + | 𝐏 𝐐 |)$
mit $| M P | = 4 c m$ und $| P Q |$ berechnet mit dem Kosinussatz
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos ⁡ (α)$ :
$| P Q |^{2} = | M Q |^{2} + | M P |^{2} - 2 \cdot | M Q | \cdot | M P | \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot 100 °)$
$| P Q | = \sqrt{| M Q |^{2} + | M P |^{2} - 2 \cdot | M Q | \cdot | M P | \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot 100 °)}$
$| P Q | = \sqrt{4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos (50 °)}$ mit $\cos (50 °) ≙ 0,64279$
$| P Q | = \sqrt{16 + 16 - 32 \cdot 0,64279}$
$| P Q | = \sqrt{32 - 20,57} = \sqrt{11,43}$
$| 𝐏 𝐐 | = 𝟑,𝟑𝟖 𝐜 𝐦$
$\Rightarrow 𝐔_{𝐌 𝐏 𝐐 𝐑} = 𝟐 \cdot (𝟒 + 𝟑,𝟑𝟖) 𝐜 𝐦$
$\Rightarrow 𝐔_{𝐌 𝐏 𝐐 𝐑} = 𝟏𝟒,𝟕𝟔 𝐜 𝐦$
Berechne den Umfang des Drachen, indem du die Längen von $M P$ und $P Q$ bestimmst.
Verwende für die Strecke $P Q$ mit dem Kosinussatz.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Umfangs des Drachenvierecks $MPQR$ am Umfang der Figur, die sich aus dem Kreisbogen $\overset{⌢}{AB}$ sowie der Strecke $AB$ zusammensetzt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren
Berechnung Umfang des Halbkreises $(A B + \overset{⌢}{B})$
$𝐔_{𝐇 𝐚 𝐥 𝐛 𝐤 𝐫 𝐞 𝐢 𝐬} = | A B | + \frac{1}{2} \cdot | A B | \cdot π = 8 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3,14159 = 20,56636 \approx 𝟐𝟎,𝟓𝟕 𝐜 𝐦$
Berechnung des prozentualen Anteils vom Umfang MPQR am Halbkreis $(A B + \overset{⌢}{B})$
$\frac{U_{M P Q R}}{Halbkreis (A B + \overset{⌢}{B})} = \frac{14,76}{20,57} = 0,7175 ≙ 𝟕𝟏,𝟕𝟓$ %
Bestimme den Umfang des Halbkreises und bilde das Verhältnis beider Umfänge.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Teil B

Aufgabe B1

Vollständige Zeichnung

Umfang des Drachenvierecks MPQR

Berechnung Umfang des Halbkreises (AB+B⌢)

Berechnung des prozentualen Anteils vom Umfang MPQR am Halbkreis (AB+B⌢)

Berechnung Umfang des Halbkreises $(A B + \overset{⌢}{B})$

Berechnung des prozentualen Anteils vom Umfang MPQR am Halbkreis $(A B + \overset{⌢}{B})$