Nachtermin Teil B

Die untenstehende Skizze zeigt den Plan eines Gartengrundstücks $A B C D$ .

Es gilt: $A B = 9,0 m$ ; $B C = 8,0 m$ ; $A E = 3,5 m$

$∡ B A D = 60 °$ ; $∡ C B A = 80 °$ ; $∡ D E A = 90 °$ .

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ im Maßstab $1 : 100$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Einzeichnen des Vierecks $ABCD$ im Maßstab $1 : 100$ .
Da die Längen in der Aufgabenstellung in Metern angegeben sind, gelten für die Längen in der Skizze:
$A B = 9,0 c m, B C = 8,0 c m, A E = 3,5 c m$
Die Winkel bleiben dabei gleich.
Die dreieckige Gartenfläche $AED,$ die im Plan durch die Strecken $[A E], [E D]$ und $[D A]$ begrenzt ist, soll geschottert werden. Eine Metallschiene, im Plan durch $[E D]$ gekennzeichnet, soll verhindern, dass sich der Schotter im ganzen Grundstück verteilt. Zum Nachbargrundstück wird entlang der im Plan durch $[A D]$ gekennzeichneten Strecke ein Sichtschutz errichtet. Berechnen Sie die Länge der Strecken $[E D]$ und $[A D]$ .
[Teilergebnis: $E D = 6,1 m$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Strecke $E D$ mit dem Tangens:
$\frac{E D}{A E} = \tan ∢ B A D \Rightarrow E D = A E \cdot \tan ∢ B A D$
$E D = 3,5 m \cdot \tan 60 °$
$E D = 6,1 m$
Berechnen der Strecke $A D$ mit dem Kosinus:
$\frac{A E}{A D} = \cos ∢ B A D \Rightarrow A D = \frac{A E}{\cos ∢ B A D}$
$A D = \frac{3,5 m}{\cos 60 °}$
$A D = 7,0 m$
Die im Plan durch das Viereck $E B C D$ dargestellte Fläche soll aus einem Rasenstück und einem Beet bestehen.
Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke [EC] sowie den Flächeninhalt $A_{1}$ des Vierecks $E B C D$ .
[Ergebnis: $E C = 8,9 m$ ; Teilergebnis: $∡ B E C = 62,3 °$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Berechnen der Länge der Strecke $E C$ mit dem Kosinussatz.
Der Kosinussatz angewandt auf das Dreieck $EBC$ lautet:
${E C}^{2} = {E B}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot \cos 80^{\circ} \cdot E B \cdot B C$
$E C = \sqrt{{5,5}^{2} + {8,0}^{2} - 2 \cdot 0,1736 \cdot 5,5 \cdot 8} m$
$E C = \sqrt{94,25 - 15,28} m E C = 8,90 m$
Berechnen des Flächeninhaltes des Vierecks $EBCD :$
$A_{E B C D} = A_{E B C} + A_{E C D}$
$A_{E B C} = \frac{1}{2} \cdot E B \cdot B C \cdot \sin ∢ C B A E B = 9 m - 3,5 m$
$E B = 5,5 m$
$A_{E B C} = \frac{1}{2} \cdot 5,5 \cdot 8 \cdot s i n 80^{\circ} [m^{2}]$
$A_{E B C} = 21,7 m^{2}$
$A_{D E C} = \frac{1}{2} \cdot E C \cdot E D \cdot \sin ∢ C E D ∢ C E D = 90^{\circ} - ∢ C E B$
$\frac{\sin ∢ C E B}{8 m} = \frac{\sin 80}{8,9 m} \sin ∢ C E B = \frac{8 \cdot \sin 80^{\circ}}{8,9} \frac{m}{m}$
$∢ C E B = {62,3}^{\circ} ∢ C E D = 90^{\circ} - {62,3}^{\circ}$
$∢ C E D = {27,7}^{\circ}$
$A_{D E C} = \frac{1}{2} \cdot 8,9 \cdot 6,1 \cdot \sin {27,7}^{\circ} [m^{2}]$
$A_{D E C} = 12,6 m^{2}$
$A_{E B C D} = 21,7 m^{2} + 12,6 m^{2} A_{E B C D} = 34,3 m^{2}$
Das Viereck $EBCD$ besteht aus den Dreiecken $ECD$ und dem Dreieck $EBC .$
Berechne die Flächeninhalte dieser Dreiecke und addiere sie.
Der Kreis mit dem Mittelpunkt E hat den Radius $r = E D$ und schneidet die Strecke [BC] im Punkt F. Das Beet wird durch den Kreisbogen $\overset{⌢}{F}$ sowie durch die Strecken $[D C]$ und $[C F]$ begrenzt. Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset{⌢}{F}$ in die Zeichnung zur Teilaufgabe (a) ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen
Einzeichnen des Kreisbogens $\overset{⌢}{F}$
Das Beet aus Teilaufgabe (d) wird entlang des Kreisbogens $\overset{⌢}{F}$ und der Strecke [DC] mit einem Schneckenschutzzaun geschützt. Berechnen Sie die benötigte Länge des Zauns.
[Teilergebnis: $∡ B E F = 37, 4 °$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen
Aus Teilaufgabe $2. c)$ sind die folgenden Grössen bekannt:
$∢ C E D = {27,7}^{\circ}; E C = 8,9 m$
Aus Teilaufgabe $2. b)$ ist die folgende Grösse bekannt:
$E D = 6,1 m$
Berechnen der Länge des Kreisbogens $\overset{⌢}{F} :$
$\overset{⌢}{F} = \frac{2 \cdot E D \cdot π \cdot ∢ F E D}{360^{\circ}} ∢ F E D = 90^{\circ} - ∢ B E F$
$∢ B E F = 180^{\circ} - 80^{\circ} - ∢ E F B$
$\sin ∢ E F B = \frac{5,5 m \cdot \sin 80^{\circ}}{6,1 m} \Rightarrow ∢ E F B = {62,6}^{\circ}$
$∢ B E F = 180^{\circ} - 80^{\circ} - {62,6}^{\circ} \Rightarrow ∢ B E F = {37,4}^{\circ}$
$∢ F E D = 90^{\circ} - {37,4}^{\circ} \Rightarrow ∢ F E D = {52,6}^{\circ}$
$\overset{⌢}{F} = \frac{2 \cdot 6,1 \cdot π \cdot {52,6}^{\circ}}{360^{\circ}} m$
$\overset{⌢}{F} = 5,6 m$
Berechnen der Länge der Strecke $C D$ mithilfe des Kosinussatzes:
Der Kosinussatz angewandt auf die obige Skizze lautet:
$C D = \sqrt{{D E}^{2} + {C E}^{2} - 2 \cdot \cos ∢ C E D \cdot D E \cdot C E}$
$C D = \sqrt{{6,1}^{2} + {8,9}^{2} - 2 \cdot \cos {27,7}^{\circ} \cdot 6,1 \cdot 8,9} m$
$C D = \sqrt{{6,1}^{2} + {8,9}^{2} - 2 \cdot \cos {27,7}^{\circ} \cdot 6,1 \cdot 8,9} m$
$C D = \sqrt{116,4 - 96,1} m$
$C D = 4,5 m$
Länge des Schneckenschutzzauns:
$l_{S c h n . Z a u n} = \overset{⌢}{F} + C D \Rightarrow l_{S c h n . Z a u n} = 5,6 m + 4,5 m$
$l_{S c h n . Z a u n} = 10,1 m$
Die Länge des Schneckenschutzzauns setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen $\overset{⌢}{F}$ und der Länge der Strecke $C D .$
Berechne die Längen und addiere sie.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{2}$ des Beetes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Folgender Wert ist bekannt aus Teilaufgabe $2. c) :$
Flächeninhalt des Vierecks $E B C D = 34,3 m^{2}$
Berechnen des Flächeninhalts des Beetes:
$A_{B e e t} = A_{E B C D} - A_{S e k t o r} - A_{△ E B F}$
$A_{B e e t} = 34,3 m^{2} - \frac{(6,1 m)^{2} \cdot π \cdot {52,6}^{\circ}}{360^{\circ}} - \frac{1}{2} \cdot 6,1 m \cdot 5,5 m \cdot \sin {37,4}^{\circ}$
$A_{B e e t} = 34,3 m^{2} - 17,1 m^{2} - 10,2 m^{2}$
$A_{B e e t} = 7,0 m^{2}$
Subtrahiere vom Flächeninhalt des Vierecks $EBCD$ den Flächeninhalt des Kreissektors und den Flächeninhalt des Dreiecks $EBF .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org