Teil B, Gruppe 1

Die Abbildung zeigt ein Werkstück. Die Vorder- und Rückseite sind deckungsgleiche gleichschenklige Dreiecke.

Berechne den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

Video bis 8:36.
Außerdem musst du wissen, wie man die Fläche eines Rechtecks berechnet.
Die Gesamtoberfläche besteht aus dem vorderen und hinteren Dreieck, den beiden seitlichen Rechtecken und dem unteren Rechteck.
$O_{g e s a m t} = 2 \cdot A_{D r e i e c k} + 2 \cdot A_{S e i t e n r e c h t e c k} + A_{u n t e r e s R e c h t e c k}$
Der Flächeninhalt der Dreiecke berechnet sich wie folgt:
$A_{D r e i e c k} = \frac{g \cdot h}{2}$
Die Grundlinie kann man ablesen:
$g = 9 c m$
Die Höhe $h$ des Dreiecks muss man erst noch berechnen. Dies kannst du mit Hilfe des Satz von Pythagoras tun:
Die Summe der quadrierten Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
$(4,5 c m)^{2} + h^{2} = (5,5 c m)^{2}$
$\begin{array}{l} 20,25 c m^{2} + h^{2} = 30,25 c m^{2} \\ h^{2} = 30,25 c m^{2} - 20,25 c m^{2} = 10 c m^{2} \\ h \approx 3,16 c m \end{array}$
Damit beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks:
$A_{D r e i e c k} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{9 c m \cdot 3,16 c m}{2} = 14,22 c m^{2}$
Der Flächeninhalt eines seitlichen Rechtecks berechnet sich wie folgt:
$A_{S e i t e n r e c h t e c k} = a \cdot b = 5,5 c m \cdot 12 c m = 66 c m^{2}$
Die Fläche des unteren Rechtecks berechnest du wie folgt:
$A_{u n t e r e s R e c h t e c k} = b \cdot c = 12 c m \cdot 9 c m = 108 c m^{2}$
Nun setzt man alle gefundenen Werte in die erste Formel ein :
$\begin{array}{l} O_{g e s a m t} & = 2 \cdot A_{D r e i e c k} + 2 \cdot A_{S e i t e n r e c h t e c k} + A_{u n t e r e s R e c h t e c k} \\ = 2 \cdot 14,22 c m^{2} + 2 \cdot 66 c m^{2} + 108 c m^{2} \\ = 268,44 c m^{2} \end{array}$
Der Oberflächeninhalt beträgt also $268,44 c m^{2}$ .
Ermittle das Volumen des Werkstücks.
cm³

Video ab 8:37.
Das Werkstück ist ein regelmäßiges Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
$V = G \cdot h$
Die Grundfläche ist die Fläche des in Teilaufgabe a) berechneten Dreiecks. Also $G = 14,22 c m^{2}$ . Die Höhe $h$ beträgt $12 c m$ . Das Volumen berechnet sich also wie folgt:
$V = 14,22 c m^{2} \cdot 12 c m = 170,64 c m^{3}$
Das Volumen beträgt $170,64 c m^{3}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org