Nachtermin Teil A

Gegeben sind der Punkt $O (0 | 0)$ und die Pfeile ${\vec{O P}}_{n} (φ) = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin (φ) \\ 5 \cdot \cos (φ) \end{array})$ mit $φ \in [o^{\circ}; 90^{\circ} [$ .

Zeichnen Sie den Pfeil $\vec{O P_{1}}$ für $φ = 60^{\circ}$ in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe kannst du einen Blick auf die Sinus- und die Kosinusfunktion werfen.
Mit deinem Taschenrechner berechnet du $\sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\cos (60^{\circ}) = 0,5$ .
Du erhältst den Vektor:
$\vec{0 P_{1}} = (\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 5 \cdot 0,5 \end{array}) \approx (\begin{array}{c} 3,46 \\ 2,5 \end{array})$
Diesen Vektor trägst du nun in ein Koordinatensystem ein und erhältst eine Zeichnung ähnlich zu der auf der linken Seite.
Der Vektor eingetragen in ein Koordinatensystem
Der Pfeil $\vec{O P_{2}}$ schließt mit der positiven $x$ -Achse einen Winkel mit dem Maß $α = 20^{\circ}$ ein.
Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils $\vec{O P_{2}}$ .

Lösung zur Teilaufgabe b
Du bestimmst den Steigungswinkel $α$ gemäß
$\tan (α) = \frac{Δ y}{Δ x} .$
Hier ist $Δ x = 4 \cdot \sin (φ) - 0$ und
$Δ y = 5 \cdot \cos (φ) - 0$ . Damit erhältst du
$\tan (α) = \frac{5}{4 \cdot \tan (φ)}$ , sodass
$φ = \arctan (\frac{5}{4 \cdot \tan (20^{\circ})}) \approx {73,77}^{\circ} .$
Steigungswinkel eines Vektors
Du hast also insgesamt den Vektor
$\vec{0 P_{2}} = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin ({73,77}^{\circ}) \\ 5 \cdot \cos ({73,77}^{\circ}) \end{array}) \approx (\begin{array}{c} 3,84 \\ 1,39 \end{array})$
berechnet.
Der Pfeil $\vec{O P_{3}}$ liegt auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadraten.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ und geben Sie die Koordinaten des Pfeils $\vec{O P_{3}}$ auf zwei Stellen nach dem Komma an.

Lösung zur Teilaufgabe c
Auch hier benötigst du lediglich Wissen zu der Sinus- und der Kosinusfunktion.
Für die Winkelhalbierende des ersten Quadranten gilt definitionsgemäß $α = 45^{\circ}$ . Erinnere dich an die Beziehung
$φ = \arctan (\frac{5}{4 \cdot \tan (α)})$
aus Teilaufgabe (b). Setzt du nun $α = 45^{\circ}$ ein und verwendest deinen Taschenrechner, so erhältst du $φ \approx {51,34}^{\circ}$ .
Insgesamt hast du also den Vektor
$\vec{0 P_{3}} = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin ({51,34}^{\circ}) \\ 5 \cdot \cos ({51,34}^{\circ}) \end{array}) \approx (\begin{array}{c} 3,12 \\ 3,12 \end{array})$
berechnet.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Nachtermin Teil A

Lösung zur Teilaufgabe a

Lösung zur Teilaufgabe b

Lösung zur Teilaufgabe c