Teil A

Gegeben sind Dreiecke $A B_{n} C$ mit der Seitenlänge $A C = 4 cm$ . Die Winkel $B_{n} A C$ haben das Maß $α$ mit $α \in] 0^{\circ}; 60^{\circ} [$ . Das Maß der Winkel $A C B_{n}$ ist doppelt so groß wie das Maß der Winkel $B_{n} A C$ .

Ergänzen Sie die Zeichnung zum Dreieck $A B_{1} C$ für $α = 50^{\circ}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Skizziere das Dreieck für $α = 50 °$ .
Du sollst ein Dreieck $Δ A B_{1} C$ zeichnen, wobei die Strecke $A C$ $4 cm$ lang und der Winkel $∡ B_{1} A C = α = 50 °$ und der Winkel $∡ A C B_{1} = 2 α = 2 \cdot 50^{\circ} = 100 °$ groß sind. Das folgende Applet zeigt dir, wie du das machen kannst.
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Bestimmen Sie die Länge der Strecken $[B_{n} C]$ in Abhängigkeit von $α$ und vereinfachen Sie mithilfe einer Supplementbeziehung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Finde eine Formel für $B_{n} C$ .
Um eine Formel für die Länge der Strecke $B_{n} C$ zu finden, schau dir zunächst das Dreieck an, wie du es bisher kennst:
Du kennst die Strecke $A C$ und sollst den Winkel $α$ für die Lösung verwenden. Weil das Dreieck nicht rechtwinklig ist, kommt nur der Sinussatz in Frage.
Der Sinussatz sagt, dass das Verhältnis des Sinus jeden Winkels und der Länge der gegenüberliegenden Strecke gleich ist:
$\frac{B_{n} C}{\sin (α)} = \frac{A C}{\sin (β)} = \frac{A B_{n}}{\sin (2 α)} .$
Zwei der Winkel sind mit $α$ und $2 α$ gegeben, $β$ ergibt sich nach der Winkelsumme im Dreieck von $180^{\circ}$ zu
$β = 180^{\circ} - ∡ B_{n} A C - ∡ A C B_{n} = 180^{\circ} - α - 2 α = 180^{\circ} - 3 α$
Die Winkel kannst du in deiner Lösung alle verwenden. Der dritte Term interessiert nicht, weil $A B_{n}$ weder gesucht, noch gegeben ist. Du kannst die Formel nach $B_{n} C$ umstellen:
$\begin{array}{c} \frac{B_{n} C}{\sin (α)} & = & \frac{A C}{\sin (180^{\circ} - 3 α)} & | \cdot \sin (α) \\ \Leftrightarrow & B_{n} C & = & A C \cdot \frac{\sin (α)}{\sin (180^{\circ} - 3 α)} \end{array}$
Nun kannst du, wie in der Aufgabenstellung verlangt, eine Supplementbeziehung für den Sinus anwenden:
$\sin (180^{\circ} - 3 α) = \sin (3 α)$
und erhältst damit
$B_{n} C = A C \cdot \frac{\sin (α)}{\sin (3 α)} = 4 cm \cdot \frac{\sin (α)}{\sin (3 α)} .$
Das Dreieck $A B_{2} C$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A B_{2}]$ . Begründen Sie, dass das Dreieck $A B_{2} C$ rechtwinklig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Zeige, dass das Dreieck, wenn es gleichschenklig ist, auch rechtwinklig ist.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Innenwinkel gleich, nämlich die Winkel zwischen den Schenkeln und der Basis:
$∡ C B_{2} A = ∡ B_{2} A C$
In diesem Dreieck bedeutet das dann, dass
$α = 180^{\circ} - 3 α$
gelten muss. Die Formel kannst du umstellen: Addiere zunächst $3 α$ auf beiden Seiten.
$\Leftrightarrow 4 α = 180^{\circ}$
und teile dann durch 4:
$\Leftrightarrow α = 45^{\circ} .$
Nun hast du herausgefunden, dass der Winkel $α 45^{\circ}$ groß sein muss, wenn das Dreieck rechtwinklig ist. Es ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass $∡ A C B_{n} = 2 α = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$ ist, also ist das Dreieck tatsächlich rechtwinklig!

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Teil A

Skizziere das Dreieck für α=50°.

Finde eine Formel für BnC .

Zeige, dass das Dreieck, wenn es gleichschenklig ist, auch rechtwinklig ist.

Skizziere das Dreieck für $α = 50 °$ .

Finde eine Formel für $B_{n} C$ .