Aufgaben zur Polynomdivision

Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) : (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\begin{array}{l} (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) : (x - 1) = x^{2} + 3 x + 2 \\ - (x^{3} - 1 x^{2}) \\ 3 x^{2} - x \\ - (3 x^{2} - 3 x) \\ 2 x - 2 \\ - (2 x - 2) \\ 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion : $f (x) = x^{2} + 3 x + 2$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 3 x + 2$
↓
Gleich $0$ setzen.
$0$ $=$ $x^{2} + 3 x + 2$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
↓
Wurzelziehen.
$=$ $\frac{- 3 \pm 1}{2}$
$x_{2} = \frac{- 3 + 1}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
$x_{3} = \frac{- 3 - 1}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$
Faktorisierung
$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = (x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
$(4 x^{3} - 4 x) : (x + 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\begin{array}{l} (4 x^{3} - 4 x) : (x + 1) = 4 x^{2} - 4 x \\ - (4 x^{3} + 4 x^{2}) \\ - 4 x^{2} - 4 x \\ - (- 4 x^{2} - 4 x) \\ 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f (x) = 4 x^{2} - 4 x$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$f (x)$ $=$ $4 x^{2} - 4 x$
↓
Gleich $0$ setzen.
$0$ $=$ $4 x^{2} - 4 x + 0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 0}}{2 \cdot 4}$
$=$ $\frac{4 \pm \sqrt{16}}{8}$
$=$ $\frac{4 \pm 4}{8}$
$x_{2} = \frac{4 + 4}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_{3} = \frac{4 - 4}{8} = \frac{0}{8} = 0$
Faktorisierung
$4 x^{3} - 4 x = 4 x (x + 1) (x - 1)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
$(\frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{8}{3}) : (x + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\begin{array}{l} (\frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{8}{3}) : (x + 2) = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} \\ - (\frac{2}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{2}) \\ \frac{2}{3} x^{2} - \frac{8}{3} \\ - (\frac{2}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x) \\ - \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} \\ - (- \frac{4}{3} x - \frac{8}{3}) \\ 0 \end{array}$
Nullstellenberechnung
$\frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$ $=$ $0$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- \frac{2}{3} \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} - 4 \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{4}{3})}}{\frac{4}{3}}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{36}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- \frac{2}{3} \pm \frac{6}{3}}{\frac{4}{3}}$
$x_{2} = 1$
$x_{3} = - 2$
$\frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{8}{3} = \frac{2}{3} (x + 2)^{2} (x - 1)$ ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für $x = - 2$ eine doppelte Nullstelle.
$(x^{4} - 8 x^{2} - 9) : (x - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\begin{array}{l} (x^{4} - 8 x^{2} - 9) : (x - 3) = x^{3} + 3 x^{2} + x + 3 \\ - (x^{4} - 3 x^{3}) \\ 3 x^{3} - 8 x^{2} \\ - (3 x^{3} - 9 x^{2}) \\ x^{2} - 9 \\ - (x^{2} - 3 x) \\ 3 x - 9 \\ - (3 x - 9) \\ 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms $x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$ kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes $3$ in Frage.
Also die vier Zahlen: $\pm 1, \pm 3$ .
Einsetzen ergibt $f (- 3) = - 28 + 27 - 3 + 3 = 0$ . Daneben erhält man: $f (\pm 1) \neq 0$ und $f (+ 3) \neq 0$ .
$x = - 3$ ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision $f (x) : (x + 3)$ aufgehen.
$\begin{array}{l} (x^{3} + 3 x^{2} + x + 3) : (x + 3) = x^{2} + 1 \\ - (x^{3} + 3 x^{2}) \\ x + 3 \\ - (x + 3) \\ 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f (x) = x^{2} + 1$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$x^{2} + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x^{2}$ $=$ $- 1$
$\Rightarrow$ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in $ℝ$ .
Für den ursprünglichen Funktionsterm $x^{4} - 8 x^{2} - 9$ erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 1)$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 3 x + 2$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$0$	$=$	$x^{2} + 3 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
	↓	Wurzelziehen.
	$=$	$\frac{- 3 \pm 1}{2}$

$f (x)$	$=$	$4 x^{2} - 4 x$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$0$	$=$	$4 x^{2} - 4 x + 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 0}}{2 \cdot 4}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16}}{8}$
	$=$	$\frac{4 \pm 4}{8}$

$\frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$	$=$	$0$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- \frac{2}{3} \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} - 4 \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{4}{3})}}{\frac{4}{3}}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{36}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- \frac{2}{3} \pm \frac{6}{3}}{\frac{4}{3}}$

Aufgaben zur Polynomdivision

Verbleibende Nullstellen berechnen

Faktorisierung

Verbleibende Nullstellen berechnen

Faktorisierung

Nullstellenberechnung

Verbleibende Nullstellen berechnen