Nachtermin Teil A

Das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ . Der Punkt $S$ ist die Spitze dieser Pyramide mit der Höhe $[M S]$ .

Es gilt: $A C = 12 cm; B D = 9 cm; M C = 8 cm; C S = 10 cm$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Volumen $V_{A B C D S}$ der Pyramide $A B C D S$ .
$[$ Ergebnis: $V_{A B C D S} = 108 {cm}^{3}$ $]$
Für diese Teilaufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Formel für das Volumen der Pyramide ist:
$V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot M S$
wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ist und $M S$ die Höhe. Um das Volumen zu berechnen gehst du so vor:
Berechne $G$
Berechne $M S$
Setze alles in die Formel ein.
1. Berechnung von $G$
Die Grundfläche der Pyramide ist das Drachenviereck $A B C D$ . Mit der Formel für den Flächeninhalt von Drachenvierecken kannst du den Flächeninhalt von $A B C D$ berechnen. $B D$ und $A C$ sind die Diagonalen des Drachenvierecks. Also gilt:
$G = \frac{B D \cdot A C}{2} = \frac{9 cm \cdot 12 cm}{2} = 54 {cm}^{2} .$
2. Berechnung von $M S$
Die Höhe $M S$ der Pyramide kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen: Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $M C S$ :
Du kennst die Seitenlängen $M C = 8 cm$ und $C S = 10 cm$ . Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du nun die Seitenlänge $M S$ :
$\begin{array}{rcll} {M C}^{2} + {M S}^{2} & = & {C S}^{2} \\ 8^{2} {cm}^{2} + {M S}^{2} & = & 10^{2} {cm}^{2} \\ 64 {cm}^{2} + {M S}^{2} & = & 100 {cm}^{2} & | - 64 {cm}^{2} \\ {M S}^{2} & = & 36 {cm}^{2} & | \sqrt{} \\ M S & = & 6 cm \end{array}$
3. Einsetzen in die Formel
Wenn du die beiden Werte, die du gerade berechnet hast, in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzt, erhältst du:
$V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot M S = \frac{1}{3} \cdot 54 {cm}^{2} \cdot 6 cm = 108 {cm}^{3} .$
Verkürzt man die Strecke $[M C]$ von $C$ aus um $2 x cm$ , so erhält man Punkte $C_{n}$ ( $x \in ℝ und 0 < x < 4$ ). Verlängert man zudem die Höhe $[M S]$ über $S$ hinaus um $x cm$ erhält man Punkte $S_{n}$ und es entstehen Pyramiden $B C_{n} D S_{n}$ . Zeichnen Sie die Pyramide $B C_{1} D S_{1}$ für $x = 1,5$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

Die Situation aus der Aufgabenstellung siehst du in dieser Animation veranschaulicht. Die Animation zeigt, wie sich die Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ verändert, wenn man verschiedene Werte für $x$ einsetzt.
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Die Pyramide $B C_{1} D S_{1}$ , welche entsteht, wenn du für $x$ den Wert $1,5$ einsetzt, zeichnest du so ein:
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Das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ ist um $70 %$ kleiner als das Volumen $V$ der Pyramide $A B C D S$ . Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .
$[$ Teilergebnis: $V (x) = (- 3 x^{2} - 6 x + 72) {cm}^{3}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:
Rechne das um $70 %$ verkleinerte Volumen der Pyramide $A B C D S$ aus. Dies ist das gewünschte Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ .
Berechne das Volumen $V (x)$ der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ in Abhängigkeit von $x$ .
Setze $V (x) = "gewünschtes Volumen"$ und löse nach $x$ auf.
1. Berechnung des gewünschten Volumens
Das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ soll um $70 %$ kleiner als das der Pyramide $A B C D S$ sein. In Teilaufgabe a) hast du schon das Volumen der Pyramide $A B C D S$ berechnet:
$V_{A B C D S} = 108 {cm}^{3} .$
Um herauszufinden, wie groß dieses Volumen wird, wenn man es um $70 %$ verkleinert, wendest du die übliche Formel für die Prozentrechnung an.
Als Grundwert nimmst du $G = 108 {cm}^{3}$ , da das der Wert ist, den du um $70 %$ verkleinern willst.
Als Prozentsatz $p$ nimmst du $100 % - 70 % = 30 %$ , also $p = 0,3$ . Denn du willst das Volumen um $70 %$ verkleinern, das heißt, du willst $30 %$ des ursprünglichen Volumens haben.
Gesucht ist der Prozentwert $W$ . Mit der Formel für die Prozentrechnung erhältst du:
$W = p \cdot G = 0,3 \cdot 108 {cm}^{3} = 32,4 {cm}^{3} .$
Das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ soll also $32,4 {cm}^{3}$ betragen.
2. Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von $x$
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Wie du in der Animation sehen kannst, ist $B C_{2} D S_{2}$ eine Pyramide, deren Volumen von $x$ abhängig ist. Das liegt daran, dass zwei Längen in der Pyramide von $x$ abhängen:
Um die Streckenlänge $M C_{2}$ zu erhalten, wird die Streckenlänge $M C = 8 cm$ um $2 x cm$ verkürzt. Also gilt:
$M C_{2} = 8 cm - 2 x cm = (8 - 2 x) cm .$
Die Streckenlänge $M S$ hast du schon in Aufgabe a) berechnet. Das war die Höhe der Pyramide $A B C D S$ : $M S = 6 cm$ . Um die Streckenlänge $M S_{2}$ zu erhalten, wird diese Strecke um $x cm$ verlängert. Also gilt:
$M S_{2} = 6 cm + x cm = (6 + x) cm .$
Indem du diese beiden Werte in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzt, erhältst du das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ in Abhängigkeit von $x$ . Die Formel lautet: $V (x) = \frac{1}{3} \cdot G \cdot M S_{2}$ . Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche von $B C_{2} D S_{2}$ und $M S_{2}$ die Höhe.
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Die Grundfläche von $B C_{2} D S_{2}$ ist ein Dreieck (genauer: Das Dreieck $B C_{2} D$ ). Dessen Grundseite ist $[B D]$ mit Seitenlänge $B D = 9 cm$ . Die Höhe des Dreiecks ist $M C_{2} = (8 - 2 x) cm .$ Also ist der Flächeninhalt:
$\begin{array}{rcll} G & = & \frac{1}{2} \cdot B D \cdot M C_{2} \\ = & \frac{1}{2} \cdot 9 cm \cdot (8 - 2 x) cm \\ = & 4,5 cm \cdot (8 - 2 x) cm \\ = & (4,5 \cdot 8 - 4,5 \cdot 2 x) {cm}^{2} \\ = & (36 - 9 x) {cm}^{2} \end{array}$

Die Höhe von $B C_{2} D S_{2}$ ist:
$M S_{2} = (6 + x) cm$ .
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Also ist das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ :
$\begin{array}{rcll} V (x) & = & \frac{1}{3} \cdot G \cdot M S_{2} \\ = & \frac{1}{3} \cdot (36 - 9 x) {cm}^{2} \cdot (6 + x) cm \\ = & \frac{1}{3} (36 - 9 x) (6 + x) {cm}^{3} \\ = & (- 3 x^{2} - 6 x + 72) {cm}^{3} . \end{array}$
3. $V (x) = "gewünschtes Volumen"$
Nun hast du eine Formel $V (x)$ für das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ in Abhängigkeit von $x$ (2. Schritt) und den Wert $32,4 {cm}^{3}$ , den das Volumen annehmen soll (1. Schritt). Gesucht ist der $x$ -Wert $(x \in ℝ, 0 < x < 4)$ , bei dem dieses Volumen angenommen wird. Dazu setzt du $V (x) = 32,4 {cm}^{3}$ und löst nach $x$ auf:
$\begin{array}{rcll} V (x) & = & 32,4 {cm}^{3} \\ (- 3 x^{2} - 6 x + 72) {cm}^{3} & = & 32,4 {cm}^{3} & | - 32,4 {cm}^{3} \\ (- 3 x^{2} - 6 x + 39,6) {cm}^{3} & = & 0 \end{array}$
Nun bekommst du mit der Mitternachtsformel die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung:
$\begin{array}{rcll} x_{1 / 2} & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 3 \cdot 39,6}}{- 6} \\ x_{1} & = & \frac{6 + \sqrt{511,2}}{- 6} \approx - 4,77 \\ x_{2} & = & \frac{6 - \sqrt{511,2}}{- 6} \approx 2,77 \end{array}$
Die Lösung $x_{1}$ ist hier nicht von Bedeutung, da nur $x$ mit $0 < x < 4$ gesucht sind.
Das $x$ , für welches die Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ das Volumen $32,4 {cm}^{3}$ annimmt, ist also $x = x_{2} = 2,77.$
Das Maß des Winkels $S_{3} C_{3} M$ beträgt $72 °$ . Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens.
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Der Winkel $S_{3} C_{3} M$ hängt - genau wie das Volumen der Pyramide $B C_{2} D S_{2}$ - von $x$ ab. Das siehst du auch in der Animation oben. Um herauszufinden für welches $x$ der türkise Winkel im Bild (also $S_{3} C_{3} M$ ) den Wert $72 °$ annimmt, betrachstest du das rechtwinklige Dreieck $M C_{3} S_{3}$ , das in der Animation rot eingefärbt ist.
Von diesem kennst du die Seitenlängen $M S_{3} = (6 + x) cm$ und $M C_{3} = (8 - 2 x) cm$ . Die Strecke $[M S_{3}]$ ist die Gegenkathete des Winkels $S_{3} C_{3} M$ , die Strecke $[M C_{3}]$ ist seine Ankathete. Wenn du die Gegenkathehe und die Ankathete eines Winkels gegeben hast, kannst du den Tangens anwenden:
$\tan (72 °) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{(6 + x) cm}{(8 - 2 x) cm} = \frac{6 + x}{8 - 2 x} .$
Nun löst du diese Gleichung nach $x$ auf:
$\begin{array}{rclll} \tan (72 °) & = & \frac{6 + x}{8 - 2 x} & | \cdot (8 - 2 x) \\ (8 - 2 x) \cdot \tan (72 °) & = & 6 + x \\ 8 \cdot \tan (72 °) - 2 x \cdot \tan (72 °) & = & 6 + x & | - 6 | + 2 x \cdot \tan (72 °) \\ 8 \cdot \tan (72 °) - 6 & = & x + 2 x \cdot \tan (72 °) \\ 8 \cdot \tan (72 °) - 6 & = & x \cdot (1 + 2 \cdot \tan (72 °)) & | : (1 + 2 \cdot \tan (72 °) \\ \frac{8 \cdot \tan (72 °) - 6}{1 + 2 \cdot \tan (72 °)} & = & x \end{array}$
Zum Schluss setzt du den erhaltenen Wert für $x$ in den Taschenrechner ein und rundest auf zwei Nachkommastellen:
$x = \frac{8 \cdot \tan (72 °) - 6}{1 + 2 \cdot \tan (72 °)} \approx 2,60.$