Nachtermin Teil B

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $A B C D E F$ , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck $A B C$ mit der Basis $[B C]$ ist. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ , der Punkt $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[E F]$ .

Es gilt: $A M = 8 cm; B C = 10 cm; A D = 9 cm .$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F$ , wobei die Strecke $[A M]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt:
$q = \frac{1}{2}; w = 45 °$
Berechnen Sie sodann das Maß $φ$ des Winkels $B A C$ .

Lösung a
Wie du das Schrägbild des Prismas zeichnest, kannst du dir in diesem Applet ansehen:
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Jetzt geht es noch darum das Maß des Winkels $∠ B A C$ zu berechnen. Dazu kannst du das rechtwinklige Dreieck $B M A$ ansehen, denn in diesem liegt der Winkel $∠ B A M$ , der genau halb so groß ist wie $∠ B A C$ .
Rechtwinkliges Dreieck mit Beschriftung
Um das Maß des Winkels $∠ B A M$ zu bestimmen kannst du den Tangens verwenden. In dem Dreieck ist $[B M]$ nämlich die Gegenkathete zu $∠ B A M$ und $[A M]$ die Ankathete. Die Länge $A M = 8 cm$ kennst du aus der Angabe und die Länge von $B M = 0,5 \cdot 10 cm = 5 cm$ entspricht der Hälfte der Länge von $B C$ .
Eingesetzt in die Gleichung des Tangens erhältst du dann:
$\tan (∠ B A M) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{5}{8}$
Mit der Umkehrfunktion des Tangens erhältst du : $∠ B A M = \tan^{- 1} (\frac{5}{8}) \approx 32 °$
Das Maß des Winkels $∠ B A C$ entspricht nun genau dem doppelten der $32 °$ , also:
$∠ B A C = 2 \cdot 32 ° = 64 °$
Zeichnen Sie die Strecke $[M D]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[M D]$ sowie das Maß $ϵ$ des Winkels $N M D$ . $[Ergebnisse : = 12,04 cm; 41,63 °]$

Lösung b
Die Strecke in das Schrägbild einzuzeichnen ist ganz einfach:
Um die Länge der Strecke $[M D]$ und das Maß des Winkels $ϵ$ zu berechnen ist es hilfreich sich das Dreieck $M N D$ anzusehen:
Rechtwinkliges Dreieck
Wie du siehst ist das Dreieck $M N D$ rechtwinklig. Die Strecke $[M D]$ ist darin die Hypotenuse. Da du die Längen der Katheten, $N D = 8 cm$ und $M N = 9 cm$ , kennst du bereits aus der Angabe, du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden und erhältst:
$\begin{array}{lcrllll} {M D}^{2} & = & (8 cm)^{2} & + & (9 cm)^{2} \\ {M D}^{2} & = & 64 {cm}^{2} & + & 81 {cm}^{2} \\ {M D}^{2} & = & 145 {cm}^{2} & | & \sqrt{} \\ M D & = & 12,04 cm \end{array}$
Die Strecke $[M D]$ ist also $12,04 cm$ lang.
Jetzt musst du noch das Maß von $ϵ$ berechnen. Da du jetzt die Längen aller Strecken in dem Dreieck kennst, kannst du dafür den Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden. Hier wird jetzt der Tangens verwendet, für Sinus und Cosinus erhältst du das selbe Ergebnis:
$\tan (ϵ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{8}{9}$
Verwende wieder die Umkehrfunktion des Tangens und du bekommst das Ergebnis:
$ϵ = \tan^{- 1} (\frac{8}{9}) \approx 41,63 °$
Punkte $S_{n}$ liegen auf der Strecke $[M D]$ mit $D S_{n}$ $(x)$ = $x$ $cm$ , $x$ $\in ℝ$ und $x$ $\in$ $] 0; 12,04 [$ . Für die Strecken $[S_{n} H_{N}]$ mit Punkten $H_{n}$ auf der Strecke $[M N]$ gilt: $[S_{n} H_{n}] | | [D N]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_{1} H_{1}]$ für $x = 4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.

Um die Länge der Strecke $[S_{1} H_{1}]$ zu berechnen kannst du den Sinus verwenden. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck $M H_{1} S_{1}$ . Darin ist $[S_{1} H_{1}]$ die Gegenkathete des Winkels $ϵ$ und $[M S_{1}]$ die Hypotenuse. Mit dem Sinus gilt also:
$\sin (ϵ) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{S_{1} H_{1}}{M S_{1}}$
Das Maß des Winkels $ϵ = 41,63 °$ kennst du bereits, die Länge der Strecke $[M S_{1}]$ kannst du kurz berechnen: $M S_{1} = M D - D S_{1} = 12,04 cm - 4 cm = 8,04 cm$ . Das kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und sie nach $S_{1} H_{1}$ auflösen:
$\begin{array}{ccc} \sin (41,63 °) & = & \frac{S_{1} H_{1}}{8,04 cm} & | & \cdot 8,04 cm \\ 8,04 cm \cdot \sin (41,63 °) & = & S_{1} H_{1} \\ 5,34 cm & = & S_{1} H_{1} \end{array}$
Punkte $Q_{n} \in [B E]$ und $R_{n} \in [CF]$ bilden zusammen mit den Punkten $M$ und N Drachenvierecke $M R_{n} N Q_{n}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $H_{n}$ . Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden $M R_{n} N Q_{n} S_{n}$ mit der Spitze $S_{n}$ . Zeichnen Sie die Pyramide $M R_{1} N Q_{1} S_{1}$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $M R_{1} N Q_{1} S_{1}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V (x) = (120 - 9,9 x) {cm}^{3}$ .

Lösung d
Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, musst du ihre Grundfläche und ihre Höhe kennen. Die Höhe der Pyramide $M R_{n} N Q_{n} S_{n}$ entspricht der Länge $S_{n} H_{n}$ und ihre Grundfläche ist die Fläche des Drachenvierecks $M R_{n} N Q_{n}$ .
Berechnung der Höhe $S_{n} H_{n}$
Berechnung der Fläche des Drachenvierecks $M R_{n} N Q_{n}$
Die Diagonalen im Drachenviereck $M R_{n} N Q_{n}$ sind $Q_{n} R_{n} = B C = 10 cm$ und $N M = A D = 9 cm$ . Mit der Formel für den Flächeninhalt gilt also:
$A_{Drachenviereck} = \frac{1}{2} \cdot Q_{n} R_{n} \cdot N M = \frac{1}{2} \cdot 10 cm \cdot 9 cm = 45 {cm}^{2}$
Das Volumen der Pyramide $M R_{2} N Q_{2} S_{2}$ beträgt $25 %$ des Volumens des Prismas $A B C D E F .$ Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .
Der Winkel $M S_{3} N$ hat das Maß $110 °$ . Zeichnen Sie die Strecke $[S_{3} N]$ in das Schrägbild zru Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .