Teil A

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen $[BD]$ benötigst Du den Satz des Pythagoras.

${\overline{BD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2=\mathrm{7,8}{\text{cm}}^2+\mathrm{5,2}{\text{cm}}^2=\mathrm{60,84}{\text{cm}}^2$

$\overline{BD}=\sqrt{\mathrm{87,88}{\text{cm}}^2}=\mathrm{9,37}\text{cm}$

Auf eine Stelle nach dem Komma gerundet beträgt $\overline{BD}=\mathrm{9,4}\text{cm}$.

Für die Berechnung der Dreiecksfläche $A_{ABC}$ musst Du wissen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$A_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \left(\gamma \right)$

$A_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{BC}\cdot \sin \left(\gamma \right)$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \sin \left(\angle CBD\right)){\text{cm}}^2$

$\angle CBD={70}^{\circ }-\angle DBA$

Für die Berechnung des Winkels $\angle DBA$ berechne zunächst den Tangens des Winkels $\angle DBA$, da $\overline{AD}$ und $\overline{AB}$ bekannt sind.

$\tan \left(\angle DBA\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{5,2}}{\mathrm{7,8}}}=\mathrm{0,6666}$

$\begin{array}{l}\angle DBA={\mathrm{33,7}}^{\circ }\\ \angle CBD={70}^{\circ }-{\mathrm{33,7}}^{\circ }={\mathrm{36,3}}^{\circ }\end{array}$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \sin \left({\mathrm{36,3}}^{\circ }\right)){\text{cm}}^2$

$A_{BCD}=(\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,4}\cdot \mathrm{8,6}\cdot \mathrm{0,5921}){\text{cm}}^2=\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2$

Die Fläche $A_{BCD}$ des Dreiecks $BCD$ beträgt $\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2$.

Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.

$\begin{array}{l}\mathrm{23,9}{\text{cm}}^2=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}\cdot \overline{BE}\cdot \sin \left({70}^{\circ }\right)\\ \mathrm{23,9}{\text{cm}}^2=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}\cdot \overline{BE}\cdot \mathrm{0,93969}\\ \overline{BE}=\mathrm{6,5}\text{cm}\end{array}$

${\overline{AE}}^2=({\overline{AB}}^2+{\overline{BE}}^2-2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BE}\cdot \cos \left({70}^{\circ }\right)){\text{cm}}^2$

${\overline{AE}}^2=({\mathrm{7,8}}^2+{\mathrm{6,5}}^2-2\cdot \mathrm{7,8}\cdot \mathrm{6,5}\cdot \mathrm{0,34}){\text{cm}}^2|\sqrt{}$

$\overline{AE}=\mathrm{8,3}\text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt $\mathrm{8,3}\text{cm}$.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE]$, $[EP]$ und den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{P}$ begrenzt wird, musst du wissen, wie man die Fläche eines Kreissektors berechnet.

$A_{Sektor}=r^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{PEQ}}{360°}}{\text{cm}}^2$

$A_{Sektor}=9\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{PEQ}}{360°}}{\text{cm}}^2$

Berechne den Winkel $\angle PEQ$

$\angle AEB=\angle PEQ$

Wende nun den Sinussatz im allgemeinen Dreieck an.

${\displaystyle \frac{\sin \left(\angle AEB\right)}{\mathrm{7,8}\text{cm}}}$ $={\displaystyle \frac{\sin \left({70}^{\circ }\right)}{\mathrm{8,3}\text{cm}}}$

$\sin \left(\angle AEB\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,94}\cdot \mathrm{7,8}\text{cm}}{\mathrm{8,3}\text{cm}}}$ $=\mathrm{0,88}$

$\angle AEB={\mathrm{62,0}}^{\circ }$

$\angle PEQ={\mathrm{62,0}}^{\circ }$

$A_{Sektor}$ = $9\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{{62}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}{\text{cm}}^2$ = $9\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{0,17}{\text{cm}}^2$= $\mathrm{4,9}{\text{cm}}^2$

Die Fläche des Kreissektors beträgt $\mathrm{4,9}{\text{cm}}^2$.