Teil B

Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $A B C D E F G H$ , dessen Grundfläche die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist. Die Strecken $[E G]$ und $[F H]$ schneiden sich im Punkt $N$ .

Es gilt: $A C = 10 cm; B D = 6 cm; A E = 10 cm .$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F G H$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ} .$
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[M E]$ und das Maß $φ$ des Winkels $M E N$ .
$[$ Ergebnisse: $\begin{array}{l} M E = 11,18 cm; φ = {63,43}^{\circ} \end{array}$ $]$

$A C = 10 cm; B D = 6 cm; A E = 10 cm$
Das Dreieck $M E N$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $∠ M E N = 90^{\circ}$ .
Weiter gilt:
$\begin{array}{l} M N = A E = 10 cm . \\ E N = \frac{1}{2} E G = \frac{1}{2} A C = 5 cm \end{array}$
Zur Berechnung der Strecke $M E$ benötigst du den Satz des Pythagoras.
$M E = \sqrt{{(M N)}^{2} + ({E N)}^{2}} = \sqrt{(10^{2} + 5^{2}) {cm}^{2}} = \sqrt{125 {cm}^{2}} = 11,18 cm$
Für die Berechnung des Maßes $φ$ des Winkels $∠ M E N$ benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieck.
$\tan (φ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ $= \frac{M N}{E N} = \frac{10 cm}{5 cm} = 2$
$φ = \tan^{- 1} (2) = {63,43}^{\circ}$
$M E = 11,18 cm$ und $φ = {63,43}^{\circ}$
Punkte $S_{n}$ liegen auf der Strecke $[M E]$ mit ${E S}_{n} (x) = x cm, x \in [0; 11,18 [und x \in ℝ .$
Zeichnen Sie das Dreieck $S_{1} G E$ für $x = 3$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $S_{1} G E$ und die Länge der Strecke $[S_{1} G]$ .

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $S_{1} G E$ benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
$\begin{array}{l} A_{S_{1} G E} = \frac{1}{2} \cdot E S_{1} \cdot E G \cdot \sin (φ) \\ E S_{n} (x) = x cm; E S_{1} (3) = 3 cm \\ A_{S_{1} G E} = \frac{1}{2} \cdot 3 cm \cdot 10 cm \cdot \sin ({63,43}^{\circ}) = 15 {cm}^{2} \cdot \sin ({63,43}^{\circ}) = 13,42 {cm}^{2} \end{array}$
Zur Berechnung der Länge von $S_{1} G$ benötigst du den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck.
$S_{1} G = \sqrt{(E S_{1})^{2} + (E G)^{2} - 2 \cdot E S_{1} \cdot E G \cdot \cos (φ)}$
$S_{1} G = \sqrt{3^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \cos ({63,43}^{\circ})} cm$
$S_{1} G = \sqrt{109 - 60 \cdot \cos ({63,43}^{\circ})} cm = 9,06 cm$
Die Fläche des Dreiecks $A_{S_{1} G E} = 13,42 {cm}^{2}$ .
Die Länge von $S_{1} G = 9,06 cm$ .
Die Punkte $S_{n}$ sind Spitzen von Pyramiden $A B C D S_{n}$ mit der Grundfläche $A B C D$ und den Höhen $[Q_{n} S_{n}]$ . Dabei liegen die Punkte $Q_{n}$ auf der Strecke [ $A M$ ].
Zeichnen Sie die Pyramide $A B C D S_{2}$ sowie ihre Höhe [ $Q_{2} S_{2}$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Dabei gilt: $∢ M A S_{2} = 54^{\circ}$ .
Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C D S_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V (x) = (100 - 8,9 x) {cm}^{3}$
$[$ Teilergebnis: $Q_{n} S_{n} (x) = (10 - 0,89 x) cm$ $]$

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.
$G = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D$
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot Q_{n} S_{n}$
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot Q_{n} S_{n}$
Zur Berechnung von $Q_{n} S_{n}$ benötigst du den Strahlensatz.
$\begin{array}{l} \frac{Q_{n} S_{n} (x)}{A E} = \frac{M E - x}{M E} \\ \frac{Q_{n} S_{n} (x)}{10 cm} = \frac{(11,18 - x) cm}{11,18 cm} \\ Q_{n} S_{n} (x) = (10 - 0,89 x) cm \end{array}$
$V (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot (10 - 0,89 x) {cm}^{3}$
$V (x) = (100 - 8,9 x) {cm}^{3}$
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $A B C D S_{2}$ .

Bekannt ist bereits:
$V (x) = (100 - 8,9 x) {cm}^{3}$
Berechne $x$ .
Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.
$\frac{E S_{2}}{\sin (∠ S_{2} A E)} = \frac{A E}{\sin (∠ E S_{2} A)}$
$E S_{n} (x) = x cm$
$\frac{x cm}{\sin (∠ S_{2} A E)} = \frac{10 cm}{\sin (∠ E S_{2} A)}$
$∠ M A S_{2} = 54^{\circ}$
$∠ S_{2} A E = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$
$∠ E S_{2} A = 180^{\circ} - ∠ S_{2} A E - (90^{\circ} - ∠ M E N)$
$∠ E S_{2} A = 180^{\circ} - 36^{\circ} - (90^{\circ} - {63,43}^{\circ}) = 117,43 °$
$\begin{array}{l} \frac{x cm}{\sin (36^{\circ})} = \frac{10 cm}{\sin ({117,43}^{\circ})} \\ x = 6,62 \end{array}$
$V_{A B C D S_{2}} = (100 - 8,9 \cdot 6,62) {cm}^{3} = 41,08 {cm}^{3}$
Begründen Sie, dass es keine Pyramide $A B C D S_{n}$ gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas $A B C D E F G H$ ist.

Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.
$V_{P r i s m a} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot h$
$V_{P r i s m a} = (0,5 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 10) {cm}^{3} = 300 {cm}^{3}$
$\frac{1}{2} \cdot V_{P r i s m a} = 150 {cm}^{3}$
$V (x) = (100 - 8,9 x) {cm}^{3} \leq 100 {cm}^{3}, x \in [0; 11,18 [$
Es gibt keine Pyramide $A B C D S_{n}$ ⁣, für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas $A B C D E F G$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org