Mathe Geometrie Analytische Geometrie Kreise und Kugeln Aufgaben zur Kreisgleichung

Aufgaben zur Kreisgleichung

Finde die Gleichung eines Kreises $k$ um den Ursprung, der die Gerade $g$ berührt.

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor ${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$ .

Der Richtungsvektor ${\vec{v}}_{h}$ der Geraden $h$ soll senkrecht zur Geraden $g$ sein $\Rightarrow {\vec{u}}_{g} \circ {\vec{v}}_{h} = 0$

$(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 3$	$=$	$0$
$0$	$=$	$0 ✓$

Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ist der gesuchte Richtungsvektor ${\vec{v}}_{h}$ der Geraden $h$ .

Da $h$ durch den Ursprung verläuft, gilt:

$h : \vec{X} = s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$

Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:

$g \cap h$

(\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})

=

s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 0 & + & 3 \cdot r & = & 4 \cdot s \\ (I I) : & \frac{50}{3} & - & 4 \cdot r & = & 3 \cdot s \end{array}$

Beseitige $r$ :

$\begin{array}{rrrrrcrr} 4 \cdot (I) : & 0 & + & 3 \cdot r & = & 4 \cdot s \\ + & 3 \cdot (I I) : & \frac{50}{3} & - & 4 \cdot r & = & 3 \cdot s \\ 50 & + & 0 \cdot r & = & 25 \cdot s \end{array}$

Aus der Gleichung $50 = 25 \cdot s \Rightarrow s = 2$ .

Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:

${\vec{X}}_{B}$	$=$	$s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Setze $s = 2$ ein.
	$=$	$2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array})$

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (8 | 6)$ .

Dieser Punkt muss die Kreisgleichung $k : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ durch den Ursprung erfüllen.

$k : x^{2} + y^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $B (8 \| 6)$ ein.
$8^{2} + 6^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
$64 + 36$	$=$	$r^{2}$
	↓	Fasse zusammen
$100$	$=$	$r^{2}$

Die gesuchte Kreisgleichung lautet:

k : x^{2} + y^{2} = 100

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Erstelle eine zu $g$ senkrechte Gerade $h$ durch den Ursprung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte Berührpunkt $B$ . Mit diesem Berührpunkt kann die Kreisgleichung aufgestellt werden.

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