Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{x + 1} = 2 x - 1$
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
$\sqrt{x + 1}$ : Prüfe, wann der Radikand $x + 1$ größer oder gleich null ist.
$x + 1$ $\geq$ $0$ $- 1$
↓
Löse nach $x$ auf.
$x$ $\geq$ $- 1$
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq - 1}{\underset{⏟}{\sqrt{x + 1}}} = 2 x - 1$ ist:
$𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 1}$
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq - 1$ ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
$\sqrt{x + 1}$ $=$ $2 x - 1$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$x + 1$ $=$ $(2 x - 1)^{2}$
↓
Binomische Formel anwenden.
$x + 1$ $=$ $4 x^{2} - 4 x + 1$ $- x - 1$
↓
Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$ $=$ $4 x^{2} - 5 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x \cdot (4 x - 5)$
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die Gleichung $0 = x \cdot (4 x - 5)$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $4 x - 5$ gleich $0$ ist, so ist $x = 0$ oder $4 x - 5 = 0$ .
$4 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4 x$ $=$ $5$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{5}{4}$
Somit ist $x = 0$ und/oder $x = \frac{5}{4}$ .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 1}$ für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für $x = 0$ :
Setze $x = 0$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 1} = 2 x - 1$ ein:
$\sqrt{0 + 1}$ $=$ $2 \cdot 0 - 1$
↓
Fasse zusammen.
$\sqrt{1}$ $=$ $- 1$
↓
Ziehe die Wurzel.
$1$ $=$ $- 1$
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist $x = 0$ keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für $x = \frac{5}{4}$ :
Setze $x = \frac{5}{4}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 1} = 2 x - 1$ ein:
$\sqrt{\frac{5}{4} + 1}$ $=$ $2 \cdot \frac{5}{4} - 1$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}$ $=$ $\frac{10}{4} - \frac{4}{4}$
↓
Fasse zusammen.
$\sqrt{\frac{9}{4}}$ $=$ $\frac{6}{4}$
↓
Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
$\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{2} ✓$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = \frac{5}{4}$ Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
$𝕃 = {\frac{5}{4}}$
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.

$\sqrt{x + 2} = x + 2$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\sqrt{x + 2}$ : Prüfe, wann der Radikand $x + 2$ größer oder gleich null ist.

$x + 2$	$\geq$	$0$	$- 2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$\geq$	$- 2$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq - 2}{\underset{⏟}{\sqrt{x + 2}}} = x + 2$ ist:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 2}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq - 2$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\sqrt{x + 2}$	$=$	$x + 2$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$x + 2$	$=$	$(x + 2)^{2}$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$x + 2$	$=$	$x^{2} + 4 x + 4$	$- x - 2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$x^{2} + 3 x + 2$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 3 x + 2$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p = 3$ und $q = 2$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 3$ und $q = 2$ ein.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{8}{4}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$- \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$

Somit folgt:

$x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = - 2$ und $x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1$

Du hast als mögliche Lösungen erhalten $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = - 1$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 2}$ für die Wurzel.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x_{1} = - 2$ :

Setze $x_{1} = - 2$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 2} = x + 2$ ein:

$\sqrt{- 2 + 2}$	$=$	$- 2 + 2$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{0}$	$=$	$0$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$0$	$=$	$0 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x_{1} = - 2$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_{2} = - 1$ :

Setze $x_{2} = - 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 2} = x + 2$ ein:

$\sqrt{- 1 + 2}$	$=$	$- 1 + 2$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{1}$	$=$	$1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$1$	$=$	$1 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x_{2} = - 1$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

𝕃 = {- 2; - 1}

$\sqrt{2 x - 1} = \frac{6}{5} x - 3$

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

$\sqrt{2 x - 1}$ : Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.

$2 x - 1$	$\geq$	$0$	$+ 1$
$2 x$	$\geq$	$1$	$: 2$
$x$	$\geq$	$\frac{1}{2}$

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{\sqrt{2 x - 1}}} = \frac{6}{5} x - 3$ ist:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq \frac{1}{2}}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq \frac{1}{2}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\sqrt{2 x - 1}$	$=$	$\frac{6}{5} x - 3$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$2 x - 1$	$=$	${(\frac{6}{5} x - 3)}^{2}$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$2 x - 1$	$=$	$\frac{36}{25} x^{2} - \frac{36}{5} x + 9$	$- 2 x + 1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$\frac{36}{25} x^{2} - \frac{46}{5} x + 10$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 = \frac{36}{25} x^{2} - \frac{46}{5} x + 10$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a = \frac{36}{25}$ , $b = - \frac{46}{5}$ und $c = 10$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze ein $a = \frac{36}{25}$ , $b = - \frac{46}{5}$ und $c = 10.$
	$=$	$\frac{- (- \frac{46}{5}) \pm \sqrt{{(- \frac{46}{5})}^{2} - 4 \cdot (\frac{36}{25}) \cdot 10}}{2 \cdot \frac{36}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{\frac{46}{5} \pm \sqrt{\frac{2116}{25} - \frac{1440}{25}}}{\frac{72}{25}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{\frac{46}{5} \pm \sqrt{\frac{676}{25}}}{\frac{72}{25}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{\frac{46}{5} \pm \frac{26}{5}}{\frac{72}{25}}$

Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_{1} = \frac{\frac{46}{5} - \frac{26}{5}}{\frac{72}{25}} = \frac{\frac{20}{5}}{\frac{72}{25}} = \frac{20}{5} \cdot \frac{25}{72} = \frac{25}{18}$ und $x_{2} = \frac{\frac{46}{5} + \frac{26}{5}}{\frac{72}{25}} = \frac{\frac{72}{5}}{\frac{72}{25}} = \frac{72}{5} \cdot \frac{25}{72} = 5$

Somit ist $x = \frac{25}{18}$ und/oder $x = 5$ .

Du hast die Lösungen $x_{1} = \frac{25}{18}$ und $x_{2} = 5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe mit $x_{1} = \frac{25}{18}$ :

Setze $x_{1} = \frac{25}{18}$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} = \frac{6}{5} x - 3$ ein:

$\sqrt{2 \cdot \frac{25}{18} - 1}$	$=$	$\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{18} - 3$
	↓	Kürze den Bruch.
$\sqrt{\frac{50}{18} - \frac{18}{18}}$	$=$	$\frac{5}{3} - 3$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{\frac{32}{18}}$	$=$	$- \frac{4}{3}$

Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).

Somit ist $x_{1} = \frac{25}{18}$ keine Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x_{2} = 5$ :

Setze $x_{2} = 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} = \frac{6}{5} x - 3$ ein:

$\sqrt{2 \cdot 5 - 1}$	$=$	$\frac{6}{5} \cdot 5 - 3$
	↓	Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
$\sqrt{9}$	$=$	$6 - 3$
	↓	Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
$3$	$=$	$3 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 5$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

𝕃 = {5}

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$\sqrt{x + 1}$	$=$	$2 x - 1$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$x + 1$	$=$	$(2 x - 1)^{2}$
	↓	Binomische Formel anwenden.
$x + 1$	$=$	$4 x^{2} - 4 x + 1$	$- x - 1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$4 x^{2} - 5 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x \cdot (4 x - 5)$

$4 x - 5$	$=$	$0$	$+ 5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$4 x$	$=$	$5$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{5}{4}$

$\sqrt{0 + 1}$	$=$	$2 \cdot 0 - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{1}$	$=$	$- 1$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$1$	$=$	$- 1$

$\sqrt{\frac{5}{4} + 1}$	$=$	$2 \cdot \frac{5}{4} - 1$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}$	$=$	$\frac{10}{4} - \frac{4}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{\frac{9}{4}}$	$=$	$\frac{6}{4}$
	↓	Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
$\frac{3}{2}$	$=$	$\frac{3}{2} ✓$