Gemischte Aufgaben zur Volumenberechung

Ein Kegel, dessen Höhe $h$ so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Volumen $1 L i t e r$ .

Berechne $h$ .
Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:
gegeben:
Grundkreisdurchmesser des Kreiskegels $d=h$
Volumen $V = 1 l$
gesucht:
Höhe des Kreiskegels $h$
Darstellen des Grundkreisradius mit $h$
Um die Höhe $h$ zu berechnen, kannst du zuerst den Radius $r$ als $h$ geteilt durch zwei darstellen, denn $d$ gleicht $h$ und ist außerdem doppelt so lang wie $r$ .
$r= \frac{d}{2}$
$r = \frac{h}{2}$
Aufstellen eines Gleichungssystemes:
$r = \frac{h}{2}$ ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.
Gleichung (I) ist die Darstellung von $r$ mit $h$ .
Gleichung (II) ist die Formel für die Berechnung des Volumens von einem Kreiskegel mit den eingesetzten Wert von $r= \frac{h}{2}$
(I): $r= \frac{h}{2}$
(II): $\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h = 1 l$
Nun löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, wobei du die Gleichung (I) ind (II) einsetzst.
(I) in (II):
$\frac{1}{3} \cdot \frac{h^{2}}{2^{2}} \cdot π \cdot h = 1 l$
$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$ $=$ $1 l$
$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$ $=$ $1 l$ $\cdot 12$
$h^{3} \cdot π$ $=$ $12 \cdot 1 l$
$h^{3} \cdot π$ $=$ $12 l$ $: π$
$h^{3}$ $=$ $\frac{12 l}{π}$ $\sqrt[3]{}$
$h$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{12 l}{π}}$
$=$ $\sqrt[3]{\frac{12 {dm}^{3}}{π}}$
$=$ $1,563185283593544 dm$
$\approx$ $1,56 dm$
Du kannst $r$ ausrechnen, indem du $h$ in Gleichung (I) einsetzst. Du benötigst den Radius $r$ , um die 2 Frage der Aufgabenstellung zu beantworten.
$h$ in (I):
$r = \frac{1,56 dm}{2} = 0,78 dm$
Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:
Der Kreiskegel ist etwa $1,56 d m$ hoch.
Berechne nun den Mittelpunktswinkel $α$ des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann

Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:
Berechnung der Mantellinie s:
Um den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, zu bestimmen, musst du zuerst die Mantellinie $s$ des Kegels ausrechnen. Du musst dazu dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, welches den Grundkreismittelpunkt, irgendeinen Punkt auf der Kreislinie der Höhe und die Spitze des Kreiskegels verbindet. Der Grundkreismittelpunkt und der Punkt auf der Kreislinie verbinden sich zu einer Kathete und dem Grundkreisradius r. Der Punkt auf der Kreislinie verbindet sich mit der Kegelspitze zur Hypotenuse und der Mantellinie s. Die Kegelspitze verbindet sich mit dem Grundkreismittelpunkt zu der zweiten Kathete und der Höhe h. Da h und r bereits bekannt sind, kannst du s mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$s^{2}$ $=$ $h^{2} + r^{2}$
$=$ ${1,56}^{2} {dm}^{2} + {0,78}^{2} {dm}^{2}$
$=$ $3,042 {dm}^{2}$ $\sqrt{}$
$s$ $=$ $\sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
$\approx$ $1,74 dm$
Anmerkung:
Die Lösungen der Gleichung wären:
$s_{1 / 2} = \pm \sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
Da s eine Länge ist, wäre eine negative Lösung nicht sinnvoll, weshalb du diese nicht weiter beachten musst.
Berechnung des Mittelpunktswinkels $α$
Nun kannst du $α$ berechnen, indem du dir bereits bekannte Werte in eine nach $α$ umgeformte Version von dieser Formel
$\frac{α}{360^{\circ}} = \frac{2 \cdot π \cdot r}{2 \cdot π \cdot s} = \frac{r}{s}$
einsetzst.
$\frac{α}{360^{\circ}} = \frac{0,78 dm}{1,74 dm} | \cdot 360^{\circ}$
Du multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit $360 °$ .
$α = 0,45 \cdot 360^{\circ} = 162^{\circ}$
Antwort:
Der Mittelpunktswinkel α des Sektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, ist $162 °$ groß.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$	$=$	$1 l$
$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$	$=$	$1 l$	$\cdot 12$
$h^{3} \cdot π$	$=$	$12 \cdot 1 l$
$h^{3} \cdot π$	$=$	$12 l$	$: π$
$h^{3}$	$=$	$\frac{12 l}{π}$	$\sqrt[3]{}$
$h$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{12 l}{π}}$
	$=$	$\sqrt[3]{\frac{12 {dm}^{3}}{π}}$
	$=$	$1,563185283593544 dm$
	$\approx$	$1,56 dm$

$s^{2}$	$=$	$h^{2} + r^{2}$
	$=$	${1,56}^{2} {dm}^{2} + {0,78}^{2} {dm}^{2}$
	$=$	$3,042 {dm}^{2}$	$\sqrt{}$
$s$	$=$	$\sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
	$\approx$	$1,74 dm$

Gemischte Aufgaben zur Volumenberechung

Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:

Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:

Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:

Berechnung der Mantellinie s:

Anmerkung:

Berechnung des Mittelpunktswinkels α

Antwort:

Berechnung des Mittelpunktswinkels $α$