Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

Wird die Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt, erhältst du die Funktion $g$.

Für die Spiegelung an der $x$-Achse muss der Funktionsterm von $f$ mit $(-1)$ multipliziert werden. Damit hat die Funktion $g$ die Funktionsgleichung:

Nullstellenberechnung

Setze $f(x)=0$:

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}$

Du hast die Gleichung $0={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ und $\sqrt{x+2}$ gleich $0$ ist, so ist $x=0$ oder $\sqrt{x+2}=0$.

Somit ist $x=0$ und/oder $x=-2$.

Antwort: Die beiden Nullstellen der Funktion $f$ sind $x_1=0$ und $x_2=-2$.

Skalierung der Koordinatenachsen

Skalierung der $x$-Achse

Die beiden Nullstellen werden in das Koordinatensystem der obigen Abbildung eingetragen und geben die Skalierung der $x$-Achse vor.

Die beiden Nullstellen sind $x_1=0$ und $x_2=-2$. Das Intervall $[-2;0]$ auf der $x$-Achse ist in zwei Abschnitte unterteilt, d.h. ein Abschnitt entspricht einer Einheit.

Damit kann die $x$-Achse skaliert werden.

Skalierung der $y$-Achse

Für die Skalierung der $y$-Achse kann z.B. $f(1)$ berechnet werden.

Setze $x=1$ in $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}$ ein:

Die Funktion $f(x)$ hat für $x=1$ etwa den Funktionswert $\mathrm{0,87}$.

Damit kann auch die $y$-Achse skaliert werden.

Die Funktion $f$ ist von $x=-2$ (Nullstelle $N_2$) bis $x=1$ gezeichnet. Der Definitionsbereich ist somit: ${𝔻}_f=\{x\in ℝ|-2\le x\le 1\}$