Aufgaben zur Kurvendiskussion

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Prüfe, wann der Radikand $x+2$ größer oder gleich null ist.

Damit hat die Funktion $g$ den maximalen Definitionsbereich:

Für die Berechnung der Nullstellen setzt du $g(x)=0$.

Die Nullstellen der Funktion $g$ sind $x_1=0$ und $x_2=-2$.

Die in Aufgabe $b$) berechneten Nullstellen sind $x_1=0$ und $x_2=-2$.

Der linke Schnittpunkt mit der $x$-Achse liegt bei $(-2|0)$ und der rechte Schnittpunkt mit der $x$-Achse liegt bei $(0|0)$.

In der Abbildung ist der $x$-Achsenbereich im Intervall $[-2;0]$ in $10$ Abschnitte unterteilt. Ein Abschnitt entspricht demnach $\mathrm{0,2}$. Damit kann die $x$-Achse skaliert werden.

Für die Skalierung der $y$-Achse berechnest du z.B. den Funktionswert an der Stelle $x=1$.

Der Punkt $P(1|-\mathrm{0,87})$ liegt auf dem Graphen von $g$ und ermöglicht die Skalierung der $y$-Achse. Die y-Koordinate von $P$ liegt etwas oberhalb von $y=-1$.

In der Abbildung ist der $y$-Achsenbereich im Intervall $[-1;0]$ in $5$ Abschnitte unterteilt. Ein Abschnitt entspricht demnach $\mathrm{0,2}$. Damit kann die $y$-Achse skaliert werden.

Berechne die Nullstelle der ersten Ableitung von $g$.

Die Funktion $g$ ist das Produkt von zwei Funktionen. Benutze die Produktregel.

$g(x)=u(x)\cdot v(x)$

Dabei ist $u(x)=-\frac{x}{2}$ und $v(x)=\sqrt{x+2}$

Berechne die Ableitungen:

$u^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}$ und $v^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x+2}}}$

An der Stelle $x=-\frac{4}{3}$ hat die Funktion $g$ einen Hochpunkt.

Berechne die $y$-Koordinate des Hochpunktes.

Berechne $g(-\frac{4}{3})$:

Die Koordinaten des Hochpunktes von $g$ lauten: $HP(-\frac{4}{3}|\frac{2}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}})$