Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

Für die rechte Seite der gespiegelten Ebene $E{}^{\prime }$ in Koordinatenform gilt die Gleichung:

$(\mathrm{I})d_3=2\cdot d_2-d_1$

Lies $d_1$ aus der Ebenengleichung $E$ ab: $d_1=7$

Lies $d_2$ aus der Ebenengleichung $H$ ab: $d_2=12$

Setze $d_1=7$ und $d_2=12$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ ein:

$d_3=2\cdot 12-7=24-7=17$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E^{\prime }$ lautet: $2\cdot x_1-3x_2+x_3=17$

1. Die Schnittgerade $g_S$ ist gegeben: $g_S:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{18}{7}}\\ 0\\ {\displaystyle \frac{1}{14}}\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

2. Finde einen Punkt $P$ auf der Ebene $E$. Der Punkt $P$ darf nicht auf der Schnittgeraden $g_S$ liegen.

$E:2\cdot x_1+4\cdot x_2-2\cdot x_3=5$

Setze z. B. $x_1=1$ und $x_2=1$ und berechne $x_3$:

$2\cdot 1+4\cdot 1-2\cdot x_3=5\Rightarrow x_3=\mathrm{0,5}\Rightarrow P(1|1|\mathrm{0,5})$

Liegt $P$ auf $g_S$? Setze $P$ in die Geradengleichung ein:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{18}{7}}\\ 0\\ {\displaystyle \frac{1}{14}}\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{11}{7}}\\ 1\\ {\displaystyle \frac{3}{7}}\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Aus der ersten Zeile folgt $r={\displaystyle \frac{11}{7}}$ und aus der zweiten Zeile folgt $r=1$. Das ist ein Widerspruch. Somit liegt $P$ nicht auf $g_S.$

3. Wird ein Punkt $P$ der Ebene $E$ an der Ebene $H$ gespiegelt, so liegen der Punkt $P$ und der Spiegelpunkt $P{}^{\prime }$ auf einer Geraden, die senkrecht auf der Ebene $H$ steht. Diese Gerade ist die Lotgerade $l_{Lot}$. Sie wird benötigt, um den Lotfußpunkt $F$ auf der Ebene $H$ zu berechnen.

Erstelle nun eine Lotgerade $l_{Lot}$ mit dem gefundenen Punkt $P(1|1|\mathrm{0,5})$ als Aufpunkt und dem Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_H=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ der Ebene $H$: $l_{Lot}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

4. Schneide die Lotgerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $H$, um den Lotfußpunkt $F$ zu erhalten.

Setze $r={\displaystyle \frac{2}{13}}$ in die Lotgerade $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)+(\frac{2}{13})\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+{\displaystyle \frac{6}{13}}\\ 1-{\displaystyle \frac{2}{13}}\\ \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{8}{13}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{19}{13}}\\ {\displaystyle \frac{11}{13}}\\ {\displaystyle \frac{29}{26}}\end{array}\right)\Rightarrow$$F\left({\displaystyle \frac{19}{13}}\right|{\displaystyle \frac{11}{13}}\left|{\displaystyle \frac{29}{26}}\right)$

5. Für den Spiegelpunkt $P{}^{\prime }$ gilt immer die Gleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{PF}$:

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{19}{13}}\\ {\displaystyle \frac{11}{13}}\\ {\displaystyle \frac{29}{26}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{19}{13}}-1\\ {\displaystyle \frac{11}{13}}-1\\ {\displaystyle \frac{29}{26}}-\mathrm{0,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{6}{13}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{13}}\\ {\displaystyle \frac{8}{13}}\end{array}\right)$

6. Setze dann $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{6}{13}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{13}}\\ {\displaystyle \frac{8}{13}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+{\displaystyle \frac{12}{13}}\\ 1-{\displaystyle \frac{4}{13}}\\ \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{16}{13}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{25}{13}}\\ {\displaystyle \frac{9}{13}}\\ {\displaystyle \frac{45}{26}}\end{array}\right)$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }\left({\displaystyle \frac{25}{13}}\right|{\displaystyle \frac{9}{13}}\left|{\displaystyle \frac{45}{26}}\right)$.

7. Der berechnete Punkt $P^{\prime }$ ist ein Punkt der Spiegelebene $E^{\prime }$. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene $E^{\prime }$ mit der Schnittgeraden $g_S$ und einem weiteren Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A{P}^{\prime }}$ ($A$ ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)

$\Rightarrow$ $E^{\prime }:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$.

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A{P}^{\prime }}=\overrightarrow{O{P}^{\prime }}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{25}{13}}\\ {\displaystyle \frac{9}{13}}\\ {\displaystyle \frac{45}{26}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{18}{7}}\\ 0\\ {\displaystyle \frac{1}{14}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{25}{13}}-{\displaystyle \frac{18}{7}}\\ {\displaystyle \frac{9}{13}}-0\\ {\displaystyle \frac{45}{26}}-{\displaystyle \frac{1}{14}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{59}{91}}\\ {\displaystyle \frac{9}{13}}\\ {\displaystyle \frac{151}{91}}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{91}}\cdot \left(\begin{array}{c}-59\\ 63\\ 151\end{array}\right)$

Die Spiegelebene $E^{\prime }$ kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

$E^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{18}{7}}\\ 0\\ {\displaystyle \frac{1}{14}}\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-59\\ 63\\ 151\end{array}\right)$