Spiegelung einer Ebene an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Ebene $E$ an einer Ebene $H$ .

Es werden zwei verschiedene Berechnungsmethoden beschrieben.

Berechnungsmethode 1

Es werden zwei Fälle untersucht:

1. Fall: Die beiden Ebenen sind (echt) parallel zueinander.

2. Fall: Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden $g_{S}$ . Die Berechnung der gespiegelten Ebene $E$ ' erfolgt mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$ .

Berechnungsmethode 2

Bestimme von der Ebene $E$ drei nicht kollineare Punkte $P, Q$ und $R$ . Berechne nacheinander die drei an der Ebene $E$ gespiegelten Punkte $P^{'}, Q^{'}$ und $R^{'}$ . Erstelle dann mit diesen drei Spiegelpunkten eine Parameterform der Spiegelebene $E^{'}$ .

Berechnungsmethode 1 Fall 1:

Vorgehensweise

Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:

$E : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{1}$ und $H : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{2}$ .

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt $\Rightarrow E^{'} : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{3}$

Wie wird $d_{3}$ berechnet?

Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.

$E_{H N F} : \frac{a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} - d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |} = 0$

$d (O, E) = | \frac{a_{1} \cdot 0 + b_{1} \cdot 0 + c_{1} \cdot 0 - d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |} | = \frac{d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |}$

Entsprechend für die Ebene $H$ :

$d (O, H) = | \frac{a_{1} \cdot 0 + b_{1} \cdot 0 + c_{1} \cdot 0 - d_{2}}{| {\vec{n}}_{H} |} | = \frac{d_{2}}{| {\vec{n}}_{H} |}$

Für den Abstand der Spiegelebene $E^{'}$ vom Koordinatenursprung gilt:

$d (O, E^{'}) = d (O, H) + d (E, H) = d (O, H) + (d (O H) - d (O, E)) = 2 \cdot d (O, H) - d (O, E)$

Da $| {\vec{n}}_{E} | = | {\vec{n}}_{H} | = | {\vec{n}}_{E}^{'} |$ gilt: $d (O, E^{'}) = \frac{d_{3}}{| {\vec{n}}_{E} |} = 2 \cdot \frac{d_{2}}{| {\vec{n}}_{E} |} - \frac{d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |}$

Für $d_{3}$ der Spiegelebene $E^{'}$ ergibt sich somit die Gleichung:

d_{3} = 2 \cdot d_{2} - d_{1}

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

$E : 5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 3$ und $H : 5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 30$ .

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

$d_{3} = 2 \cdot d_{2} - d_{1}$

Setze $d_{1} = - 3$ und $d_{2} = - 30$ ein:

$d_{3} = 2 \cdot (- 30) - (- 3) = - 60 + 3 = - 57$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E^{'}$ lautet: $5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 57$

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen für das Beispiel zu Fall 1

Berechnungsmethode 1 Fall 2:

Gegeben sind zwei Ebenen in Koordinatenform $E : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{1}$ und

$H : a_{2} \cdot x_{1} + b_{2} \cdot x_{2} + c_{2} \cdot x_{3} = d_{2}$ . Die beiden Ebenen schneiden sich in der Schnittgeraden $g_{S}$ . Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Ebene $E$ ' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$

Spiegelung einer Ebene an einer Ebene, 2 sich schneidende Ebenen

1. Die Schnittgerade $g_{S}$ ist gegeben: $g_{S} : \vec{x} = \vec{O A} + t \cdot \vec{u}$ oder muss berechnet werden.

2. Finde einen Punkt $P$ auf der Ebene $E$ . Der Punkt $P$ darf nicht auf der Schnittgeraden $g_{S}$ liegen.

3. Erstelle eine Lotgerade $l_{L o t}$ mit dem gefundenen Punkt $P$ als Aufpunkt und dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{H} = (\begin{array}{c} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{array})$ der Ebene $H$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot {\vec{n}}_{H}$

4. Schneide die Lotgerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $H$ . Du erhältst den Fußpunkt $F$ .

5. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

6. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein.

7. Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist ein Punkt der Spiegelebene $E^{'}$ . Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene $E^{'}$ mit der Schnittgeraden $g_{S}$ und einem weiteren Richtungsvektor $\vec{v} = \vec{A P^{'}}$ ( $A$ ist der Aufpunkt der Schnittgeraden) $\Rightarrow$ $E^{'} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ .

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die beiden Ebenen $E : 7 \cdot x_{1} - 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 0$ und $H : 3 \cdot x_{1} - x_{2} - x_{3} = 2$ . Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: $g_{S} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

1. Die Schnittgerade $g_{S}$ ist gegeben: $g_{S} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ .

2. Finde einen Punkt $P$ auf der Ebene $E$ . Der Punkt $P$ darf nicht auf der Schnittgeraden $g_{S}$ liegen.

$E : 7 \cdot x_{1} - 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 0$

Wähle z.B. $P (5 | 7 | 0)$ . $P \in E$ ? $\Rightarrow 7 \cdot 5 - 5 \cdot 7 - 3 \cdot 0 = 0 ✓$

Liegt $P$ auf $g_{S}$ ? Setze $P$ in die Geradengleichung ein:

$(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ - 7 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$

Aus der ersten Zeile folgt $r = - 2$ und aus der zweiten Zeile folgt $r = 7$ . Somit liegt $P$ nicht auf $g_{S} .$

3. Erstelle eine Lotgerade $l_{L o t}$ mit dem gefundenen Punkt $P (5 | 7 | 0)$ als Aufpunkt und dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{H} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})$ der Ebene $H$ : $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})$

4. Schneide die Lotgerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $H$ .

$3 \cdot x_{1} - x_{2} - x_{3}$	$=$	$2$
	↓	Setze die Lotgerade $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})$ in $H$ ein.
$3 \cdot (5 + 3 r) - (7 - r) - (0 - r)$	$=$	$2$
	↓	Löse die Klammern auf.
$15 + 9 r - 7 + r + r$	$=$	$2$
	↓	Fasse zusammen und löse nach $r$ auf.
$8 + 11 r$	$=$	$2$	$- 8$
$11 r$	$=$	$- 6$	$: 30$
$r$	$=$	$- \frac{6}{11}$

Setze $r = - \frac{6}{11}$ in die Lotgerade $l_{L o t}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) + (- \frac{6}{11}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - \frac{18}{11} \\ 7 + \frac{6}{11} \\ 0 + \frac{6}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{37}{11} \\ \frac{83}{11} \\ \frac{6}{11} \end{array}) \Rightarrow$ $F (\frac{37}{11} | \frac{83}{11} | \frac{6}{11})$

5. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} \frac{37}{11} \\ \frac{83}{11} \\ \frac{6}{11} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{37}{11} - 5 \\ \frac{83}{11} - 7 \\ \frac{6}{11} - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{18}{11} \\ \frac{6}{11} \\ \frac{6}{11} \end{array})$

6. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - \frac{18}{11} \\ \frac{6}{11} \\ \frac{6}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - \frac{36}{11} \\ 7 + \frac{12}{11} \\ 0 + \frac{12}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{19}{11} \\ \frac{89}{11} \\ \frac{12}{11} \end{array})$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (\frac{19}{11} | \frac{89}{11} | \frac{12}{11})$ .

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

$\vec{v} = \vec{A P^{'}} = \vec{O P^{'}} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} \frac{19}{11} \\ \frac{89}{11} \\ \frac{12}{11} \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{19}{11} - 3 \\ \frac{89}{11} - 0 \\ \frac{12}{11} - 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{14}{11} \\ \frac{89}{11} \\ - \frac{65}{11} \end{array}) = \frac{1}{11} \cdot (\begin{array}{c} - 14 \\ 89 \\ - 65 \end{array})$

Die Spiegelebene $E^{'}$ kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

$E^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 14 \\ 89 \\ - 65 \end{array})$ oder umgewandelt in eine Koordinatenform:

$E^{'} : 291 x_{1} - 9 x_{2} - 75 x_{3} = 348$

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.

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Spiegelung einer Ebene an einer Ebene

Berechnungsmethode 1

Berechnungsmethode 2

Berechnungsmethode 1 Fall 1:

Vorgehensweise

Wie wird d3 berechnet?

Beispiel zu Fall 1

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen für das Beispiel zu Fall 1

Berechnungsmethode 1 Fall 2:

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Ebene E' mit einer Lotgeraden lLot

Beispiel zu Fall 2

Wie wird $d_{3}$ berechnet?

Berechnung der gespiegelten Ebene $E$ ' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$