Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele die Gerade $g$ an der Ebene $E$ .

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $E : 4 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} = 30$ und $g ∥ E$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ .
$l_{L o t} \cap E$
$4 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3}$ $=$ $30$
↓
Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ in $E$ ein.
$4 \cdot (2 + 4 s) - 2 \cdot (4 - 2 s) + 2 \cdot (3 + 2 s)$ $=$ $30$
↓
Löse die Klammern auf.
$8 + 16 s - 8 + 4 s + 6 + 4 s$ $=$ $30$
↓
Fasse zusammen.
$6 + 24 s$ $=$ $30$ $- 6$
$24 s$ $=$ $24$ $: 24$
$s$ $=$ $1$
Setze $s = 1$ in die Lotgeradengleichung $l_{L o t}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.
${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ $\Rightarrow F (6 | 2 | 5)$
3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$
$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:
$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 7 \end{array})$
5. Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{'}$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec{u}$ (parallele Gerade zu $g$ ) $\Rightarrow g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{u}$
$A n t w o r t :$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ , $E : x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = - 9$ und $g \cap E \Rightarrow S (11 | 5 | 10)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ .
Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ in $E$ ein.
$l_{L o t} \cap E$
$x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}$ $=$ $- 9$
↓
Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ in $E$ ein.
$(- 1 + s) + 2 \cdot (2 + 2 s) - 3 \cdot (1 - 3 s)$ $=$ $- 9$
↓
Löse die Klammern auf
$- 1 + s + 4 + 4 s - 3 + 9 s$ $=$ $- 9$
↓
Fasse zusammen.
$14 s$ $=$ $- 9$ $: 14$
$s$ $=$ $- \frac{9}{14}$
Setze $s = - \frac{9}{14}$ in die Lotgeradengleichung $l_{L o t}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.
${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{9}{14}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 - \frac{9}{14} \\ 2 - \frac{18}{14} \\ 1 + \frac{27}{14} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{23}{14} \\ \frac{10}{14} \\ \frac{41}{14} \end{array})$ $\Rightarrow F (- \frac{23}{14} | \frac{10}{14} | \frac{41}{14})$
3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$
$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} - \frac{23}{14} \\ \frac{10}{14} \\ \frac{41}{14} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{9}{14} \\ - \frac{18}{14} \\ \frac{27}{14} \end{array})$
4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:
$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - \frac{9}{14} \\ - \frac{18}{14} \\ \frac{27}{14} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 - \frac{18}{14} \\ 2 - \frac{36}{14} \\ 1 + \frac{54}{14} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{32}{14} \\ - \frac{8}{14} \\ \frac{68}{14} \end{array})$
5. Berechne den Vektor $\vec{S P^{'}} :$
$\vec{S P^{'}} = \vec{O P^{'}} - \vec{O S} = (\begin{array}{c} - \frac{32}{14} \\ - \frac{8}{14} \\ \frac{68}{14} \end{array}) - (\begin{array}{c} 11 \\ 5 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{32}{14} - 11 \\ - \frac{8}{14} - 5 \\ \frac{68}{14} - 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{93}{7} \\ - \frac{39}{7} \\ - \frac{36}{7} \end{array})$
6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:
$g^{'} : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot \vec{S P^{'}}$
$g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 11 \\ 5 \\ 10 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - \frac{93}{7} \\ - \frac{39}{7} \\ - \frac{36}{7} \end{array})$ oder $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 11 \\ 5 \\ 10 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 31 \\ 13 \\ 12 \end{array})$

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$4 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3}$	$=$	$30$
	↓	Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ in $E$ ein.
$4 \cdot (2 + 4 s) - 2 \cdot (4 - 2 s) + 2 \cdot (3 + 2 s)$	$=$	$30$
	↓	Löse die Klammern auf.
$8 + 16 s - 8 + 4 s + 6 + 4 s$	$=$	$30$
	↓	Fasse zusammen.
$6 + 24 s$	$=$	$30$	$- 6$
$24 s$	$=$	$24$	$: 24$
$s$	$=$	$1$

$x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}$	$=$	$- 9$
	↓	Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ in $E$ ein.
$(- 1 + s) + 2 \cdot (2 + 2 s) - 3 \cdot (1 - 3 s)$	$=$	$- 9$
	↓	Löse die Klammern auf
$- 1 + s + 4 + 4 s - 3 + 9 s$	$=$	$- 9$
	↓	Fasse zusammen.
$14 s$	$=$	$- 9$	$: 14$
$s$	$=$	$- \frac{9}{14}$