Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele den Punkt $P (1 | 2 | 5)$ an der Ebene.

$E : x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} = 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $E$ steht (der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P (1 | 2 | 5)$ :
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.
$h \cap E$
$x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3}$ $=$ $11$
↓
Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$ in $E$ ein.
$(1 + r) + 3 \cdot (2 + 3 r) - 2 \cdot (5 - 2 r)$ $=$ $11$
↓
Löse die Klammern auf.
$1 + r + 6 + 9 r - 10 + 4 r$ $=$ $11$
↓
Fasse zusammen.
$- 3 + 14 r$ $=$ $11$ $+ 3$
↓
Löse nach r auf.
$14 r$ $=$ $14$ $: 14$
$r$ $=$ $1$
Setze $r = 1$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:
${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array})$ $\Rightarrow S (2 | 5 | 3)$
3. Vektor $\vec{P S}$ berechnen:
$\vec{P S} = \vec{O S} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
4. Vektor $\vec{P S}$ zu $\vec{O S}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P^{'}$ zu bekommen.
$\vec{O P^{'}} = \vec{O S} + \vec{P S} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array})$
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (3 | 8 | 1)$ .

$F : - 2 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} = 43$

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$x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$11$
	↓	Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$ in $E$ ein.
$(1 + r) + 3 \cdot (2 + 3 r) - 2 \cdot (5 - 2 r)$	$=$	$11$
	↓	Löse die Klammern auf.
$1 + r + 6 + 9 r - 10 + 4 r$	$=$	$11$
	↓	Fasse zusammen.
$- 3 + 14 r$	$=$	$11$	$+ 3$
	↓	Löse nach r auf.
$14 r$	$=$	$14$	$: 14$
$r$	$=$	$1$

$- 2 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3}$	$=$	$43$
	↓	Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ in $F$ ein.
$- 2 \cdot (1 - 2 r) + (2 + r) + 3 \cdot (5 + 3 r)$	$=$	$43$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 2 + 4 r + 2 + r + 15 + 9 r$	$=$	$43$
	↓	Fasse zusammen.
$15 + 14 r$	$=$	$43$	$- 15$
	↓	Löse nach r auf.
$14 r$	$=$	$28$	$: 14$
$r$	$=$	$2$