Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele den Punkt $P (1 | 2 | 5)$ am Punkt $Z$ .

$Z (1 | 3 | - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt $P (1 | 2 | 5)$ wird am Punkt $Z (1 | 3 | - 4)$ gespiegelt.
$\vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{O Z} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array})$
Berechne den Vektor:
$\vec{P Z} = \vec{O Z} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 9 \end{array})$ .
Setze die Vektoren in $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}$ ein:
$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 13 \end{array})$
Antwort: Der gespiegelte Punkt $P^{'}$ hat die Koordinaten $P^{'} (1 | 4 | - 13)$ .
Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}$
$Z (- 1 | 3 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt $P (1 | 2 | 5)$ wird am Punkt $Z (- 1 | 3 | 1)$ gespiegelt.
$\vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{O Z} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Vektor:
$\vec{P Z} = \vec{O Z} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ .
Setze die Vektoren in $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}$ ein:
$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Antwort: Der gespiegelte Punkt $P^{'}$ hat die Koordinaten $P^{'} (- 3 | 4 | - 3)$ .
Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}$

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