Teil A

Berechnung des Winkels

Berechne das Maß des Winkels $CMD$ und die Länge $b$ des Kreisbogens $\stackrel{⌢}{B}.$

Berechne den Kosinus des Winkels $CMD$.

$\cos \sphericalangle CMD={\displaystyle \frac{3}{5}}=\mathrm{0,6}\Rightarrow \sphericalangle CMD=\mathrm{53,13}°$

Länge des Kreisbogens

Berechne jetzt die Länge $b$ des Kreisbogens $\stackrel{⌢}{B}.$ Damit Du den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{B}$ berechnen kannst, musst Du zuerst den Winkel $BMC$ berechnen.

$\sphericalangle BMC={180}^{\circ }-{\mathrm{53,13}}^{\circ }={\mathrm{126,87}}^{\circ }$

$b=2r\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle BMC}{{360}^{\circ }}}\Rightarrow b=2\cdot 5\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{126,87}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\text{cm}$

Also ist $b=\mathrm{11,07}\text{cm}$.

Flächeninhalt Dreieck${}_{AMC}$

Mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt im Dreieck gilt:

$A_{AMC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{AM}\cdot \overline{MC}\cdot \sin \sphericalangle CMD$ $\sphericalangle CMD=\mathrm{53,13}°$

$A_{AMC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\text{cm}\cdot 5\text{cm}\cdot \sin \mathrm{53,13}°\Rightarrow A_{AMC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 25\cdot \mathrm{0,7999}{\text{cm}}^2$

$A_{AMC}=10{\text{cm}}^2$

Flächeninhalt Kreissektor${}_{MBC}$

Die Fläche des Kreissektors ergibt sich mithilfe des Winkels zu:

$A_{MBC}={\overline{MB}}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle CMB}{{360}^{\circ }}}\Rightarrow A_{MBC}=(5\text{cm}{)}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{126,87}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}$

$A_{MBC}=\mathrm{27,68}{\text{cm}}^2$

Gesamtfläche

$A_{Figur}=A_{AMC}+A_{MBC}\Rightarrow A_{Figur}=10{\text{cm}}^2+\mathrm{27,68}{\text{cm}}^2$

$A_{Figur}=\mathrm{37,68}{\text{cm}}^2$