Zwei sich schneidende Kugeln

Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt $M^{'}$ und dem Radius $r^{'}$ .

Der Schnittkreis liegt in der Ebene $E_{S}$ .

Schnittbedingung:

$| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1}, M_{2}) < r_{1} + r_{2}$

Gesucht sind die Gleichung der Schnittebene $E_{S}$ , $M^{'}$ und $r^{'}$ .

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel $K_{1}$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_{1}$ und den Radius $r_{1}$ .

Die Kugel $K_{2} $ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_{2}$ und den Radius $r_{2}$ .

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ .

Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag.

$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$

Vergleiche $d (M_{1} M_{2})$ mit dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien und der Summe der beiden Kugelradien.

Wenn die Bedingung $| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1}, M_{2}) < r_{1} + r_{2}$ erfüllt ist, dann schneiden sich die beiden Kugeln in einem Schnittkreis.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle von beiden Kugeln die Vektorgleichung in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Koordinatengleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene $E_{S}$ .

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ auf die Ebene $E_{S}$ .

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M_{1}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E_{S}$ :

$g_{L o t} : \vec{X} = \vec{O M_{1}} + t \cdot {\vec{n}}_{E}$

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ , indem du die Lotgerade $g_{L o t}$ mit der Ebene $E_{S}$ schneidest.

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

(In der Abbildung ist nur die Kugel $K_{1}$ dargestellt.)

Den Schnittkreisradius $r^{'}$ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand $d$ der Ebene $E_{S}$ vom Mittelpunkt $M_{1}$ ist der Betrag des Vektors $\vec{M_{1} M^{'}}$ und der Kugelradius von $K_{1}$ ist $r$ .

Es gilt dann: $r^{'} = \sqrt{r^{2} - d^{2}}$

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Beispiel

Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))}^{2} = 9$ und $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}))}^{2} = 16$

Zeige, dass die beiden Kugeln sich schneiden und gib die Gleichung der Schnittebene $E_{S}$ , den Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises und den Schnittkreisradius $r^{'}$ an.

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Gegeben sind die beiden Kugelradien: $r_{1} = \sqrt{9} = 3$ und $r_{2} = \sqrt{16} = 4$

Berechne:

$| r_{1} - r_{2} | = | 3 - 4 | = | - 1 | = 1$
$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$
$r_{1} + r_{2} = 3 + 4 = 7$

Zu 2. Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) $

Berechne $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 5)^{2} + 3^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{38} \approx 6,$ 2

Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:

$| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2} \Rightarrow 1 < 6,2 < 7$

Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle die Kugelgleichung $K_{1}$ in eine Koordinatengleichung um:

$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
${(\begin{array}{c} x_{1} - 4 \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 4)^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} - 8 x_{1} + 16 + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$	$=$	$9$	$- 16$
	↓	Vereinfache
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 8 x_{1}$	$=$	$- 7$

Die Kugel $K_{1}$ hat die Koordinatengleichung: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 8 x_{1} = - 7$

Wandle die Kugelgleichung $K_{2}$ in eine Koordinatengleichung um:

$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}))}^{2}$	$=$	$16$
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}))}^{2}$	$=$	$16$
${(\begin{array}{c} x_{1} + 1 \\ x_{2} - 3 \\ x_{3} + 2 \end{array})}^{2}$	$=$	$16$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} + 1)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} + 2)^{2}$	$=$	$16$
	↓	Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 1 + x_{2}^{2} - 6 x_{2} + 9 + x_{3}^{2} + 4 x_{3} + 4$	$=$	$16$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 x_{1} - 6 x_{2} + 4 x_{3} + 14$	$=$	$16$	$- 14$
	↓	Vereinfache
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 x_{1} - 6 x_{2} + 4 x_{3}$	$=$	$2$

Die Kugel $K_{2}$ hat die Koordinatengleichung: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 x_{1} - 6 x_{2} + 4 x_{3} = 2$

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel $1$ ist Gleichung $(I)$ und die Kugel $2$ ist Gleichung $(I I)$ . Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

$\begin{array}{l} \begin{array}{cccccccl} (I) : & x_{1}^{2} & + & x_{2}^{2} & + & x_{3}^{2} & - & 8 x_{1} & + & 0 x_{2} & + & 0 x_{3} & = & - 7 \\ - (I I) : & x_{1}^{2} & + & x_{2}^{2} & + & x_{3}^{2} & + & 2 x_{1} & - & 6 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & 2 \end{array} \\ 0 + 0 + 0 - 10 x_{1} + 6 x_{2} - 4 x_{3} = - 9 \end{array}$

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet $E_{S} : - 10 x_{1} + 6 x_{2} - 4 x_{3} = - 9$ .

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ auf die Ebene $E_{S}$ .

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M_{1}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E_{S}$ :

${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 10 \\ 6 \\ - 4 \end{array})$

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 10 \\ 6 \\ - 4 \end{array})$ oder

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - 10 t \\ 6 t \\ - 4 t \end{array})$

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ , indem du die Lotgerade $g_{L o t}$ mit der Ebene $E_{S}$ schneidest:

$E : - 10 x_{1} + 6 x_{2} - 4 x_{3}$	$=$	$- 9$
	↓	Setze $4 - 10 t$ , $6 t$ und $- 4 t$ ein.
$- 10 \cdot (4 - 10 t) + 6 \cdot 6 t - 4 \cdot (- 4 t)$	$=$	$- 9$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 40 + 100 t + 36 t + 16 t$	$=$	$- 9$
	↓	Vereinfache.
$152 t - 40$	$=$	$- 9$	$+ 40$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$152 t$	$=$	$31$
$t$	$=$	$\frac{31}{152}$

Zur Berechnung des Schnittpunktes $M^{'}$ setzt du $t = \frac{31}{152}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\vec{X}}_{M^{'}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + \frac{31}{152} \cdot (\begin{array}{c} - 10 \\ 6 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - \frac{310}{152} \\ 0 + \frac{186}{152} \\ 0 - \frac{124}{152} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{149}{76} \\ \frac{93}{76} \\ - \frac{62}{76} \end{array})$

Antwort: Der Mittelpunkt $M^{'}$ hat die Koordinaten $M^{'} (\frac{149}{76} | \frac{93}{76} | - \frac{62}{76})$ .

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Berechne zuerst den Vektor $\vec{M_{1} M^{'}}$ und dann dessen Betrag.

$\vec{M_{1} M^{'}} = (\begin{array}{c} \frac{149}{76} \\ \frac{93}{76} \\ - \frac{62}{76} \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{155}{76} \\ \frac{93}{76} \\ - \frac{62}{76} \end{array})$

$d = | \vec{M_{1} M^{'}} | = \sqrt{{(- \frac{155}{76})}^{2} + {(\frac{93}{76})}^{2} + {(- \frac{62}{76})}^{2}} = \sqrt{\frac{961}{152}} \approx 2,51$

$r^{'}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - d^{2}}$
	↓	Setze $r = 3$ und $d = \sqrt{\frac{961}{152}}$ ein.
	$=$	$\sqrt{3^{2} - {(\sqrt{\frac{961}{152}})}^{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{9 - \frac{961}{152}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{\frac{407}{152}}$
	$\approx$	$1,64$

Antwort: Der Radius $r^{'}$ des Schnittkreises beträgt $\sqrt{\frac{407}{152}} \approx 1,64 LE$ .

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