Aufgaben zu Kugeln und Tangentialkegel

Im rechtwinkligen Dreieck $MPB$ gilt der Kathetensatz: $b^2=q\cdot c$

$b=r$, $q=\overline{MF}$ und $c=\overline{MP}$

$\Rightarrow r^2=\overline{MF}\cdot \overline{MP}\Rightarrow \overline{MP}={\displaystyle \frac{r^2}{\overline{MF}}}$

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ und berechne den Abstand des Punktes $M$ von $E$.

$E_{HNF}:{\displaystyle \frac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{(-6{)}^2+0^2+(-1{)}^2}}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{-6x_1-x_3-11}{\sqrt{37}}}=0$

Abstand des Punktes $M$ von $E$:

$\overline{MF}=d(M,E)=\left|{\displaystyle \frac{-6\cdot (-4)-1\cdot 5-11}{\sqrt{37}}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{37}}}\right|={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{37}}}$

Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ beträgt $\overline{MF}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{37}}}$ .

Berechne nun $\overline{MP}={\displaystyle \frac{r^2}{\overline{MF}}}$, dabei ist $r=4$ und $\overline{MF}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{37}}}$

$\Rightarrow \overline{MP}={\displaystyle \frac{r^2}{\overline{MF}}}={\displaystyle \frac{16}{{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{37}}}}}=2\cdot \sqrt{37}$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{MP}$, indem du seine Länge $2\cdot \sqrt{37}$ mit dem Einheitsvektor ${\overrightarrow{n}}_0$ multiplizierst.

Berechne nun den Vektor $\overrightarrow{MP}$ mit $\overline{MP}=2\cdot \sqrt{37}$ und ${\overrightarrow{n}}_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{37}}}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{MP}=\overline{MP}\cdot {\overrightarrow{n}}_0=2\cdot \sqrt{37}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{37}}}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Der gesuchte Punkt $P$ kann nun berechnet werden:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 7\end{array}\right)$

Antwort: Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(8|1|7)$.