Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Aufstellen der Kugelgleichung

 $M(3|-1|2)$, $r=\sqrt{11}$

$K:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{)}^2=r^2$

$K:{(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right))}^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2=11$

Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor $\overrightarrow{x}$ in die Kugelgleichung ein.

Du hast die quadratische Gleichung $36t\cdot (t-1)=0$ erhalten. Zur Lösung dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Erster Faktor: $36t=0\Rightarrow t_1=0$

Zweiter Faktor: $t-1=0\Rightarrow t_2=1$

Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge $𝕃=\{0;1\}$.

Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade $g$ die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter $t_1$ und $t_2$ in die Geradengleichung

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ein.

$t_1=0$

${\overrightarrow{X}}_{S_1}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$

$t_2=1$

${\overrightarrow{X}}_{S_2}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_1(2|0|5)$ und $S_2(4|-4|1)$.

Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt $S_1$

Antwort: Die Tangentialebene $E_{T_1}$ hat die Gleichung $-x_1+x_2+3x_3=13$.

Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt $S_2$

Antwort: Die Tangentialebene $E_{T_2}$ hat die Gleichung $x_1-3x_2-x_3=15$.

Schnitt von $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$

Die beiden Tangentialebenen $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$ haben die beiden Normalenvektoren:

${\overrightarrow{n}}_{T_1}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{n}}_{T_2}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$.

Die Normalenvektoren sind nicht Vielfache voneinander. Die beiden Ebenen sind somit nicht parallel, d.h. sie schneiden sich.

Berechnung der Schnittgeraden

Die beiden Ebenengleichungen liegen in der Koordinatenform vor. Die Berechnung der Schnittgeraden erfolgt durch Lösen eines Gleichungssystems aus $2$ Gleichungen mit $3$ Unbekannten. Dabei gibt es mehrere Lösungswege z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt hier mit dem Additionsverfahren.

Die Tangentialebene $E_{T_1}$ ist Gleichung $(\mathrm{I})$ und die Tangentialebene $E_{T_2}$ ist Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$.

Eliminiere eine Variable z.B. die Variable $x_1$.

Rechne $(\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):-x_1& +& x_2& +& 3x_3& =& 13\\ +(\mathrm{I}\mathrm{I}):x_1& -& 3x_2& -& x_3& =& 15\end{array}\\ \overline{0x_1-2x_2+2x_3=28}\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):x_2=-14+x_3\end{array}$

Du hast die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):x_2=-14+x_3$ erhalten.

Bei $2$ Gleichungen mit $3$ Unbekannten ist eine Unbekannte frei wählbar. Wähle z.B. $x_3=s$.

Somit lautet die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):x_2=-14+s$.

Setze die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ und $x_3=s$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein.

Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ untereinander und sortiere entsprechend.

$g_{Schnitt}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27+4s\\ -14+s\\ 0+s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\\ -14\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:

$g_{Schnitt}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -14\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen gilt folgende Formel:

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{|{\overrightarrow{n}}_1\circ {\overrightarrow{n}}_2|}{|{\overrightarrow{n}}_1|\cdot |{\overrightarrow{n}}_2|}}$

Im Zähler des Bruches steht der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren ${\overrightarrow{n}}_1$ und ${\overrightarrow{n}}_2$ der beiden Tangentialebenen $E_{T_1}:-x_1+x_2+3x_3=13$ und $E_{T_2}:x_1-3x_2-x_3=15$. Im Nenner des Bruches steht das Produkt der Beträge der beiden Normalenvektoren.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

${\overrightarrow{n}}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Für den Betrag von ${\overrightarrow{n}}_1$ gilt: $|{\overrightarrow{n}}_1|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$

Für den Betrag von ${\overrightarrow{n}}_2$ gilt: $|{\overrightarrow{n}}_2|=\sqrt{1^2+(-3{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

Du hast die Gleichung $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{7}{11}}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen.

Hinweis: Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion ${\cos }^{-1}(x)$.

$\alpha =\arccos \left({\displaystyle \frac{7}{11}}\right)\approx {\mathrm{50,48}}^{\circ }$

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangentialebenen beträgt rund ${\mathrm{50,5}}^{\circ }$.