Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $ℝ^{+}$ definierte Funktion $h : x \mapsto 3 x \cdot (- 1 + l n (x))$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_{h}$ von $h$ im Bereich $0,75 \leq x \leq 4$ .

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $G_{h}$ im Punkt $(e | 0)$ und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$ -Achse schneidet. (4 BE)
(zur Kontrolle: $h^{'} (x) = 3 \cdot l n x$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente aufstellen
Um eine Tangente aufzustellen, überlegst du dir als erstes, wie die allgemeine Tangentengleichung aussieht.
$y = m x + t$
Als erstes musst du die Steigung $m$ in dem Punkt bestimmen. Dazu berechnest du die Ableitung mit Hilfe der Produktregel an der Stelle $x = e$ .
$h^{'} (x) = 3 (- 1 + l n (x)) + 3 x \cdot \frac{1}{x} = - 3 + 3 l n (x) + 3 = 3 l n (x)$
$h^{'} (e) = 3 l n (e) = 3 \cdot 1 = 3$
Jetzt setzt du die Steigung in die allgemeine Gleichung ein:
$y = 3 x + t$
Nun setzt du den Punkt $(e | 0)$ ein, um $t$ zu bestimmen.
$0 = 3 e + t$
$t = - 3 e$
Also kannst du die allgemeine Tangentengleichung mit $y = 3 x - 3 e$ angeben.
Winkel berechnen
Dazu verwendest du die Formel $m = \tan (α)$ . Die Steigung im Punkt $(e | 0)$ kennst du bereits: $m = 3$ . Also löst du die Formel nach $α$ auf und setzt $m$ ein. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist.
$α = a r c t a n (m)$
$α = a r c t a n (3) \approx 71,6 °$
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $G_{h}$ . Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to + \infty$ an und begründen Sie, dass $[- 3; + \infty [$ die Wertemenge von $h$ ist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten
Monotonieverhalten von $G_{h}$
Für das Monotonieverhalten musst du die Ableitung betrachten. Wenn die Ableitung größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Wenn sie kleiner als Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.
Das heißt, du musst die Nullstellen der Ableitung berechnen.
$3 l n (x) = 0 | : 3$
$l n (x) = 0 | e^{()}$
$e^{l n (x)} = e^{0}$
$x = 1$
Die Nullstelle der Ableitung ist also bei $x = 1$ . Nun musst du dir überlegen, was bei $x < 1$ und bei $x > 1$ passiert.
Bei $x < 1$ ist der $l n (x)$ negativ, also ist $h^{'} (x) < 0$ und die Funktion ist streng monoton fallend.
Bei $x > 1$ ist der $l n (x)$ positiv, also ist $h^{'} (x) > 0$ und die Funktion ist streng monoton steigend.
Grenzwert $x \to + \infty$
$\lim_{x \to \infty} 3 x (- 1 + l n (x))$
Überleg dir, wie sich die beiden Faktoren $3 x$ und $(- 1 + l n (x))$ verhalten. $\lim_{x \to \infty} 3 x = \infty$ und $\lim_{x \to \infty} - 1 + l n (x) = \infty$ , da $\lim_{x \to \infty} l n (x) = \infty$ gilt. Ein Produkt aus zwei unendlich großen Faktoren ist wieder unendlich, also ist der gesuchte Limes:
$\lim_{x \to \infty} 3 x (- 1 + l n (x)) = \infty$
Wertemenge von $h$
Du weißt schon, dass die $y$ -Werte beliebig groß werden für $x \to \infty$ . Daher kennst du direkt die obere Grenze für die Wertemenge: $\infty$ .
Außerdem kennst du das Monotonieverhalten der Funktion und weißt, dass sie erst streng monoton fallend und anschließend streng monoton steigend ist. Daraus folgt, dass bei diesem Übergang, also bei $x = 1$ , ein Tiefpunkt liegt. Also setzt du $x = 1$ in die Funktion ein, um den $y$ -Wert des tiefsten Punktes zu erhalten.
$h (1) = 3 \cdot 1 (- 1 + l n (1)) = 3 \cdot (- 1) = - 3$
Der niedrigste $y$ -Wert ist also $y = - 3$ und deswegen kennst du auch die untere Grenze der Wertemenge: $- 3$ .
Also ist die Wertemenge $[- 3; \infty [$
Geben Sie für die Funktion $h$ und deren Ableitungsfunktion $h^{'}$ jeweils das Verhalten für $x \to 0$ an und zeichnen Sie $G_{h}$ im Bereich $0 < x < 0,75$ in Abbildung 1 ein. (3 BE)
Die Funktion $h^{*} : x \mapsto h (x)$ mit Definitionsmenge $[1; + \infty [$ unterscheidet sich von der Funktion $h$ nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu $h$ ist die Funktion $h^{*}$ umkehrbar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwerte
Grenzwert der Funktion $h (x)$
$\lim_{x \to 0} h (x) = \lim_{x \to 0} 3 x (- 1 + l n (x))$
Dazu überlegst du dir den Limes der einzelnen Faktoren:
$\lim_{x \to 0} 3 x = 0$
$\lim_{x \to 0} - 1 + l n (x) = - \infty$
Also musst du dir jetzt überlegen, welcher Einfluss überwiegt. Du weißt, dass die $l n$ -Funktion langsamer fällt als alle anderen Funktionen. Deswegen überwiegt der Einfluss des Faktors $3 x$ und
$\lim_{x \to 0} 3 x (- 1 + l n (x)) = 0$ .
Grenzwert der Ableitung $h^{'} (x)$
$\lim_{x \to 0} h^{'} (x) = \lim_{x \to 0} 3 l n (x)$
Überlege dir dazu, wie sich der $l n (x)$ für kleine Werte nahe $0$ verhält.
$\lim_{x \to 0} 3 l n (x) = - \infty$
Graph der Funktion
Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von $h^{*}$ an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ des Graphen von $h^{*}$ und der Geraden mit der Gleichung $y = x$ . (4 BE)
(Teilergebnis: $x$ -Koordinate des Schnittpunkts: $e^{\frac{4}{3}}$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion von $h^{*}$
Die Definitionsmenge einer Umkehrfunktion ist die Wertemenge der ursprünglichen Funktion. Diese kennst du bereits, also kannst du als Lösung aufschreiben ( $h^{* *}$ soll die Umkehrfunktion sein):
$𝔻_{h^{* *}} = 𝕎_{h^{*}} = [- 3, \infty [$
Die Wertemenge einer Umkehrfunktion ist die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion. Auch diese ist die angegeben, also ist die Lösung:
$𝕎_{h^{* *}} = 𝔻_{h^{*}} = [1, \infty [$
Schnittpunkt von $h^{*}$ mit $y = x$
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du beide Funktionen gleich und löst nach $x$ auf:
$3 x \cdot (- 1 + l n (x))$ $=$ $x$
$- 3 x + 3 x l n (x)$ $=$ $x$ $- x$
$- 4 x + 3 x l n (x)$ $=$ $0$
$x (3 l n (x) - 4)$ $=$ $0$
Hier kannst du nach dem Satz vom Nullprodukt beide Faktoren getrennt $0$ setzen.
$x = 0$
Diese Lösung liegt allerdings nicht im Definitionsbereich von $h^{*}$ , ist also zu vernachlässigen.
$3 l n (x) - 4$ $=$ $0$ $| + 4$
$3 l n (x)$ $=$ $4$
$l n (x)$ $=$ $\frac{4}{3}$ $e^{()}$
$x$ $=$ $e^{\frac{4}{3}}$
Denke daran, dass du einen Punkt angeben sollst. Also musst du noch den $y$ -Wert berechnen, dazu setzt du den $x$ -Wert in die leichtere der beiden Funktionen ein (beachte, dass du dir hier durch die Wahl der richtigen Funktion ein bisschen Arbeit sparen kannst). Am besten nimmst du $y = x$ .
Dann setzt du ein:
$y = x = e^{\frac{4}{3}}$
Also ist der gesuchte Punkt $S (e^{\frac{4}{3}} | e^{\frac{4}{3}})$ .
Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von $h^{*}$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt $S$ , in Abbildung 1 ein. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Überlege dir vor dem Zeichnen, welche Informationen du verwenden kannst: du kennst einen Punkt der Funktion, $S$ , und außerdem die Definitions- und Wertemenge.
Zusätzlich weißt du, dass die Umkehrfunktion eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden ist.
Mit diesen Informationen kannst du die Umkehrfunktion von $h^{*}$ zeichnen:
Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt $A_{0}$ dem Wert des Integrals $\int_{e}^{x_{S}} (x - h^{*} (x)) d x$ entspricht, wobei $x_{S}$ die $x$ -Koordinate von Punkt $S$ ist. Der Graph von $h^{*}$ , der Graph der Umkehrfunktion von $h^{*}$ sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt $A$ ein. Geben Sie unter Verwendung von $A_{0}$ einen Term zur Berechnung von $A$ an. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Als erstes überlegst du dir, wo die beiden Integralgrenzen sind. Der Punkt $S$ ist die rechte Grenze. Die linke Grenze verläuft bei $e$ , wo auch die Nullstelle der Funktion liegt. In dem Applet ist die linke Grenze eingezeichnet, wenn du den Schieberegler auf $1$ schiebst.
Als nächstes musst du dir überlegen, wofür das Integral steht. Du integrierst über $x - h^{*} (x)$ , also musst du von der Fläche unter $y = x$ die Fläche unter $h^{*} (x)$ abziehen. Also steht das Integral, also die Fläche $A_{0}$ für die Fläche zwischen der Winkelhalbierenden und $h^{*}$ . Diese Fläche ist in Schritt $2$ makiert.
Um die gesamte Fläche $A$ zu berechnen, teilst du die Figur am besten mit der gespiegelten Hilfslinie aus Schritt $1$ weiter auf (siehe Schritt $3$ ).
Du erkennst, dass es sich bei der orange hinterlegten Teilfläche (Schritt $4$ ) um die gleiche Fläche $A_{0}$ handelt, weil diese nur an der Winkelhalbierenden gespiegelt wurde.
Nun fehlt zur Gesamtfläche nur noch das Quadrat (Schritt $5$ ), welches die Seitenlänge $e$ hat, da die untere Integralgrenze bei $e$ ist. Der Flächeninhalt dafür ist also $e \cdot e = e^{2}$ .
Schließlich musst du für die Gesamtfläche $A$ nur noch alle drei Teilfächen addieren:
$A = A_{0} + A_{0} + e^{2} = 2 A_{0} + e^{2}$
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