Gemischte Aufgaben zu Volumenberechnung

$\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{Prisma}}=\mathrm{G}\cdot \mathrm{h}\\ ={\mathrm{A}}_{\mathrm{Dreieck}}\cdot \mathrm{h}\end{array}$

Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.

Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.

$\begin{array}{l}{\mathrm{A}}_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{Basis}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{Dreieck}}\end{array}$

Die Höhe des Dreiecks ${\mathrm{h}}_{\mathrm{Dreieck}}$ kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

$\begin{array}{l}({\mathrm{h}}_{\mathrm{Dreieck}}{)}^2={\left(3\mathrm{cm}\right)}^2-{\left(1\mathrm{cm}\right)}^2\\ \iff {\mathrm{h}}_{\mathrm{Dreieck}}=\sqrt{8{\mathrm{cm}}^2}=\sqrt{8}\mathrm{cm}\end{array}$

Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für ${\mathrm{A}}_{\mathrm{Dreieck}}$

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm{A}}_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \sqrt{8}\mathrm{cm}\end{array}\\ =\sqrt{8}{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Einsetzen in die Volumenformel des Prismas

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{Prisma}}=\sqrt{8}{\mathrm{cm}}^2\cdot 5\mathrm{cm}\\ =5\sqrt{8}{\mathrm{cm}}^3\end{array}\\ \approx \mathrm{14,14}{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Oberflächeninhalt

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Pr}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$

Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche $M$ einsetzt.

$\begin{array}{l}{\mathrm{O}}_{\mathrm{Prisma}}=2\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{Dreieck}}+{\mathrm{S}}_1+{\mathrm{S}}_2+{\mathrm{S}}_3\\ =2\cdot \sqrt{8}{\mathrm{cm}}^2+(3\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm})+(3\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm})+(2\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm})\\ =2\sqrt{8}{\mathrm{cm}}^2+40{\mathrm{cm}}^2\\ \approx \mathrm{45,66}{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Das Volumen eine Zylinders berechen wir mit

$V=r^2\cdot \pi \cdot h$

Mit $r=3$ und $h=5$ ist

$V=3^2\cdot \pi \cdot 5c{m}^3=45\pi c{m}^3\approx \mathrm{141,37}c{m}^3$

Bei jeder Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}G\cdot h$.

Da die Grundfläche ein Quadrat mit Kantenlänge $24cm$ ist, ist

$G={24}^{2}c{m}^2$ und

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}{24}^2\cdot 5c{m}^3=960c{m}^3$

Für das Kegelvolumen gilt

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}{r}^2\cdot \pi \cdot h$

Mit $r=3cm$ und $h=5cm$ ist

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 9\cdot \pi \cdot 5c{m}^3=15\pi c{m}^3\approx \mathrm{42,12}c{m}^3$