Aufgaben zur Volumenberechung bei zusammengesetzten Körpern und Sachaufgaben

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

Hinweis: Rechne immer mit $π = 3,14.$ Runde auf zwei Kommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Teillösung 1: Volumen

Maße großer Zylinder: $d_{1} = 6 cm$ ; $h_{1} = 3,5 cm$

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser $\Rightarrow r_{1} = \frac{d_{1}}{2} = 3 cm$ .

Maße kleiner Zylinder: $d_{2} = 2 cm$ ; $h_{2} = 4 cm$

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser $\Rightarrow r_{2} = \frac{d_{2}}{2} = 1 cm$ .

Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit der Formel:

$V_{Z y l i n d e r} = r^{2} \cdot π \cdot h_{k}$

$V_{Z}$	$=$	$V_{g r o ß e r Z y l i n d e r} + V_{k l e i n e r Z y l i n d e r}$
	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π \cdot h_{1} + r_{2}^{2} \cdot π \cdot h_{2}$
	$=$	${(3 c m)}^{2} \cdot π \cdot 3,5 c m + {(1 c m)}^{2} \cdot π \cdot 4 c m$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	${(3 c m)}^{2} \cdot 3,14 \cdot 3,5 c m + {(1 c m)}^{2} \cdot 3,14 \cdot 4 c m$
	$=$	$98,91 {c m}^{3} + 12,56 {c m}^{3}$
	$=$	$111,47 {c m}^{3}$

Antwort: Das Werkstück hat ein Volumen von etwa $111,47 {c m}^{3}$ .

Teillösung 2: Oberflächeninhalt

Die Oberfläche dieses Werkstücks besteht aus mehreren Teilflächen:

Kreis, Mantelfläche, Kreisring

Berechne den (sichtbaren) Oberflächeninhalt des großen Zylinders (gr Z) und dann den (sichtbaren) Oberflächeninhalt des kleinen Zylinders (kl Z).

$O_{g r Z}$	$=$	$Grundfläche Kreis + Mantel + Kreisring$
	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π + 2 \cdot r_{1} \cdot π \cdot h_{1} + π \cdot (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$
	$=$	$(3 cm)^{2} \cdot π + 2 \cdot 3 cm \cdot π \cdot 3,5 cm + π \cdot ((3 cm)^{2} - (1 cm)^{2})$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$(3 cm)^{2} \cdot 3,14 + 2 \cdot 3 cm \cdot 3,14 \cdot 3,5 cm + 3,14 \cdot ((3 cm)^{2} - (1 cm)^{2})$
	$=$	$28,26 c m^{2} + 65,94 c m^{2} + 25,12 c m^{2}$
	$=$	$119,32 c m^{2}$

$O_{k l Z}$	$=$	$Mantel + Deckfläche Kreis$
	$=$	$2 \cdot r_{2} \cdot π \cdot h_{k} + r_{2}^{2} \cdot π$
	$=$	$2 \cdot 1 cm \cdot π \cdot 4 cm + (1 cm)^{2} \cdot π$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$2 \cdot 1 cm \cdot 3,14 \cdot 4 cm + (1 cm)^{2} \cdot 3,14$
	$=$	$25,12 c m^{2} + 3,14 c m^{2}$
	$=$	$28,26 c m^{2}$

$O_{g e s a m t}$	$=$	$O_{g r Z} + O_{k l Z}$
	$=$	$119,32 c m^{2} + 28,26 c m^{2}$
	$=$	$147,58 c m^{2}$

Antwort: Das Werkstück hat einen Oberflächeninhalt von etwa $147,58 c m^{2}$ .

Alternative Berechnung der Oberfläche

Die Oberfläche eines Zylinders berechnest du mit der Formel: $O_{Z y l i n d e r} = 2 \cdot r^{2} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h_{k}$

Beachte: Die Fläche des $g r \ddot{u} n e n$ Kreises muss vom gesamten Oberflächeninhalt der beiden Zylinder zwei mal abgezogen werden, da diese Fläche sowohl beim großen als auch beim kleinen Zylinder nicht sichtbar ist.

$O_{Z g e s a m t}$	$=$	$O_{g r Z} + O_{k l Z} - 2 \cdot r_{2}^{2} \cdot π$
	$=$	$(2 \cdot r_{1}^{2} \cdot π + 2 \cdot r_{1} \cdot π \cdot h_{1}) + (2 \cdot r_{2}^{2} \cdot π + 2 \cdot r_{2} \cdot π \cdot h_{2}) - 2 \cdot r_{2}^{2} \cdot π$
	↓	Die Fläche des kleinen (grünen) Kreises wurde zwei mal abgezogen.
	$=$	$2 \cdot r_{1}^{2} \cdot π + 2 \cdot r_{1} \cdot π \cdot h_{1} + 2 \cdot r_{2} \cdot π \cdot h_{2}$
	$=$	$2 \cdot (3 cm)^{2} \cdot π + 2 \cdot 3 cm \cdot π \cdot 3,5 cm + 2 \cdot 1 cm \cdot π \cdot 4 cm$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$2 \cdot (3 cm)^{2} \cdot 3,14 + 2 \cdot 3 cm \cdot 3,14 \cdot 3,5 cm + 2 \cdot 1 cm \cdot 3,14 \cdot 4 cm$
	$\approx$	$56,52 c m^{2} + 65,94 c m^{2} + 25,12 c m^{2}$
	$\approx$	$147,58 c m^{2}$

Antwort: Das Werkstück hat einen Oberflächeninhalt von etwa $147,58 c m^{2}$ .

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