Sachaufgaben mit Quadratzahlen oder Quadratwurzeln

Variante 1: Bestimmung des Durchmessers

In dieser Variante bestimmen wir den Durchmesser des großen Kreises mithilfe des Flächeninhalts und vergleichen anschließend den Durchmesser mit dem maximalen Durchmesser der Zirkel.

Der Flächeninhalt des großen Kreises beträgt $2{\text{ m}}^2$. Um den Durchmesser zu bestimmen, brauchst zunächst den Radius. Den Radius kann man mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.

Der Durchmesser des Kreises beträgt:

Also ist nur der Zirkel mit maximalen Durchmesser von $\mathrm{𝟏,𝟕}\text{ 𝐦}$ geeignet.

Variante 2: Bestimmung des Flächeninhalts

Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen ist, indem man bestimmt, welche maximalen Kreisflächen man mit den drei Zirkeln zeichnen kann. Anschließend vergleicht man diese mit dem Flächeninhalt des großen Kreises.

$\text{𝐌𝐚𝐱𝐢𝐦𝐚𝐥𝐞𝐫 𝐃𝐮𝐫𝐜𝐡𝐦𝐞𝐬𝐬𝐞𝐫}:𝐝=\mathrm{𝟏}\text{ 𝐦}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{1\text{ m}}{2}}=\mathrm{0,5}\text{ m}$.

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2\approx 3\cdot (\mathrm{0,5}\text{ m}{)}^2=3\cdot \mathrm{0,25}{\text{ m}}^2=\mathrm{0,75}{\text{ m}}^2$

Da $\mathrm{0,75}{\text{ m}}^2<2{\text{ m}}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1\text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\text{𝐌𝐚𝐱𝐢𝐦𝐚𝐥𝐞𝐫 𝐃𝐮𝐫𝐜𝐡𝐦𝐞𝐬𝐬𝐞𝐫}:𝐝=\mathrm{𝟎,𝟖}\text{ 𝐦}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\text{ m}}{2}}=\mathrm{0,4}\text{ m}$.

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2\approx 3\cdot (\mathrm{0,4}\text{ m}{)}^2=3\cdot \mathrm{0,16}{\text{ m}}^2=\mathrm{0,48}{\text{ m}}^2$

Da $\mathrm{0,48}{\text{ m}}^2<2{\text{ m}}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $\mathrm{0,8}\text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\text{𝐌𝐚𝐱𝐢𝐦𝐚𝐥𝐞𝐫 𝐃𝐮𝐫𝐜𝐡𝐦𝐞𝐬𝐬𝐞𝐫}:𝐝=\mathrm{𝟏,𝟕}\text{ 𝐦}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,7}\text{ m}}{2}}=\mathrm{0,85}\text{ m}$

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2\approx 3\cdot (\mathrm{0,85}\text{ m}{)}^2=3\cdot \mathrm{0,7225}{\text{ m}}^2=\mathrm{2,1675}{\text{ m}}^2$

Da $\mathrm{2,1675}{\text{ m}}^2>2{\text{ m}}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $\mathrm{1,7}\text{ m}$ aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.