Aufgaben zu Graph und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

Gib eine gebrochen-rationalen Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ an, die die angegebenen Asymptoten besitzt.

Achtung: Hier gibt es viele Lösungsmöglichkeiten. Finde mindestens zwei.

Die Funktion $g (x)$ hat die senkrechte Asymptote $x = - 3$ und die waagerechte Asymptote $y = 1,5$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Die senkrechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach rechts oder links (in positive oder negative x-Richtung) aus. Hier liegt die senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion $g (x)$ bei $x = - 3$ . $G_{f}$ wurde also um 3 Einheiten nach links verschoben $\Rightarrow b = 3$ .
Die waagerechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach oben oder unten (in positive oder negative y-Richtung) aus. Hier liegt die waagerechte Asymptote des Graphen der Funktion $g (x)$ bei $y = 1,5$ . $G_{f}$ wurde also um $1,5$ Einheiten nach oben verschoben $\Rightarrow c = 1,5$ .
Die beiden Werte für $b$ und $c$ kannst du nun in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen:
$g (x) = \frac{a}{x + 3} + 1,5$
Um zwei verschiedene Funktionsgleichungen anzugeben, musst Du nur für den Parameter $a$ zwei verschiedene Werte wählen.
Zum Beispiel für $a = 2$ erhältst Du die Funktion $g_{1} (x) = \frac{2}{x + 3} + 1,5$ und für $a = - 1$ die Funktion $g_{2} (x) = \frac{- 1}{x + 3} + 1,5$ .
Antwort: Die beiden Funktionen $g_{1} (x) = \frac{2}{x + 3} + 1,5$ und
$g_{2} (x) = \frac{- 1}{x + 3} + 1,5$ haben die senkrechte Asymptote $x = - 3$ und die waagerechte Asymptote $y = 1,5$ .
Die folgenden beiden Abbildungen sind nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.
Die Funktion $h (x)$ hat die senkrechte Asymptote $x = 4,5$ und die waagerechte Asymptote $y = - 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Die senkrechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach rechts oder links (in positive oder negative x-Richtung) aus. Hier liegt die senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion $h (x)$ bei $x = 4,5$ . $G_{f}$ wurde also um $4,5$ Einheiten nach rechts verschoben $\Rightarrow b = - 4,5$ .
Die waagerechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach oben oder unten (in positive oder negative y-Richtung) aus. Hier liegt die waagerechte Asymptote des Graphen der Funktion $h (x)$ bei $y = - 1$ . $G_{f}$ wurde also um eine Einheit nach unten verschoben $\Rightarrow c = - 1$ .
Die beiden Werte für $b$ und $c$ kannst du nun in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen:
$h (x) = \frac{a}{x - 4,5} - 1$
Um zwei verschiedene Funktionsgleichungen anzugeben, musst Du nur für den Parameter $a$ zwei verschiedene Werte wählen.
Zum Beispiel für $a = 3$ erhältst Du die Funktion $h_{1} (x) = \frac{3}{x - 4,5} - 1$ und für $a = 0,5$ die Funktion $h_{2} (x) = \frac{0,5}{x - 4,5} - 1$ .
Antwort: Die beiden Funktionen $h_{1} (x) = \frac{3}{x - 4,5} - 1$ und
$h_{2} (x) = \frac{0,5}{x - 4,5} - 1$ haben die senkrechte Asymptote $x = 4,5$ und die waagerechte Asymptote $y = - 1$ .
Die folgenden beiden Abbildungen sind nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.

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