Die Standard-Hyperbel bzw. die Funktion y=1/x

Graph der Funktion $f:x\mapsto \frac{1}{x}$

Definitionsbereich

Die Funktion $f:x\mapsto \frac{1}{x}$ hat bei $x=0$ eine Definitionslücke,

das heißt, der Wert $0$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sein.

Der maximale Definitionsbereich ist daher

• $𝔻=ℝ\setminus \{0\}$, falls man von der Grundmenge $ℝ$ der reellen Zahlen ausgeht,

(bzw.

• $𝔻=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$, falls man von der Grundmenge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen ausgeht).

Verhalten bei $x=0$ und senkrechte Asymptote

Nahe bei $x=0$ werden die $y$-Werte der Funktion

• für $x<0$ sehr klein und gehen nach $-\infty$

• für $x>0$ sehr groß und gehen nach $+\infty$.

Man sagt:

• $x=0$ ist "Polstelle von f", oder

• $f$ hat bei $x=0$ einen "Pol"

In Fall von $f:x\mapsto \frac{1}{x}$ handelt es sich dabei um eine Polstelle / einen Pol mit Vorzeichenwechsel (oder "ungerader Ordnung").

An der Polstelle $x=0$ nähert sich der Graph von $f$der $y$-Achse an.

Man sagt:

• Die Gerade $x=0$ (das ist die y-Achse) ist senkrechte Asymptote von $f$.

Verhalten für $x\to \infty$ bzw. $x\to -\infty$ und waagrechte Asymptote

Wenn der $x$-Wert

• sehr groß wird und nach $\infty$ geht,

• oder sehr klein wird und nach $-\infty$ geht,

nähern sich die $y$-Werte an $0$.

Der Graph nähert sich für $x\to \infty$ und für $x\to -\infty$ an die x-Achse an.

Man sagt:

• Die Gerade $y=0$ (das ist die $x$-Achse) ist waagrechte Asymptote von $f$.

Verschiebungen, Stauchung, Streckung und Spiegelung der Hyperbel