Pflichtteil

Ableitung

Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (2 - \cos (x))^{3} .$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Es handelt sich bei $f (x)$ um eine verkettete Funktion.
Zerlege die Funktion $f (x)$ , sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g (x) = x^{3}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 2 - \cos (x)$ .
Es gilt also: $f (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$g^{'} (x) = 3 \cdot x^{2}$ und $h^{'} (x) = \sin (x)$
Setze in die Formel der Kettenregel ein: $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$f^{'} (x) = 3 \cdot {(2 - \cos (x))}^{2} \cdot \sin (x)$
Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} - 3) \cdot \sin (3 x) .$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
Dazu setzt du $u (x) = x^{2} - 3$ und $v (x) = \sin (3 x)$ .
Die Ableitung von $u (x)$ lautet: $u^{'} (x) = 2 x$
Beachte, dass es sich bei $v (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = \sin (x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 3 x$ . Es gilt also: $v (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$g^{'} (x) = \cos (x)$ und $h^{'} (x) = 3$
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$v^{'} (x) = \cos (3 x) \cdot 3$
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
$f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
$f^{'} (x) = 2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$
Anders sortiert:
$f^{'} (x) = 2 x \cdot \sin (3 x) + 3 \cdot (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x)$
Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = (3 - e^{- 2 x})^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Es handelt sich bei $f (x)$ um eine verkettete Funktion.
Zerlege die Funktion $f (x)$ , sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion $g (x) = x^{3}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 3 - e^{- 2 x}$ .
Es gilt also: $f (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen: $g^{'} (x) = 3 \cdot x^{2}$
Bei der Ableitung von $h (x)$ fällt die $3$ weg, sodass nur $h^{*} (x) = - e^{- 2 x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei wieder um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung ebenfalls wieder die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei $u (x) = - e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $v (x) = - 2 x$ . Es gilt also: $h^{*} (x) = u (v (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$u^{'} (x) = - e^{x}$ und $v^{'} (x) = - 2$
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $h^{*} (x)^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
$h^{*} (x)^{'} = - e^{- 2 x} \cdot (- 2) = 2 \cdot e^{- 2 x} = h^{'} (x)$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein:
$f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$f^{'} (x) = \underset{g^{'} (h (x))}{\underset{⏟}{3 \cdot (3 - e^{- 2 x})^{2}}} \cdot \underset{h^{'} (x)}{\underset{⏟}{2 \cdot e^{- 2 x}}} = 6 \cdot (3 - e^{- 2 x})^{2} \cdot e^{- 2 x}$
Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = x^{4} \cdot (e^{2 x} + 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
Dazu setzt du $u (x) = x^{4}$ und $v (x) = e^{2 x} + 1$ .
Die Ableitung von $u (x)$ lautet: $u^{'} (x) = 4 x^{3}$
Bei der Ableitung von $v (x)$ fällt die $1$ weg, sodass nur $v^{*} (x) = e^{2 x}$ abgeleitet wird. Beachte, dass es sich dabei um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = 2 x$ . Es gilt also: $v^{*} (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = 2$
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $v^{*} (x)^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$v^{*} (x)^{'} = e^{2 x} \cdot 2 = 2 \cdot e^{2 x} = v^{'} (x)$
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
$f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
$f^{'} (x) = 4 x^{3} \cdot (e^{2 x} + 1) + x^{4} \cdot 2 \cdot e^{2 x}$
Bilden Sie die Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = e^{- 2 x} + 2 \sqrt{x}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Es handelt sich bei $f (x)$ um eine Summe.
Leite nach der Summenregel die einzelnen Funktionsterme ab.
$f (x) = u (x) + v (x) \Rightarrow f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$
Setze dazu $u (x) = e^{- 2 x}$ und $v (x) = 2 \sqrt{x} = 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$
Beachte, dass es sich bei $u (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = - 2 x$ . Es gilt also: $u (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = - 2$
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u (x)^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$u^{'} (x) = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 \cdot e^{- 2 x}$
Berechne nun die Ableitung von $v (x)$ :
$v^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Setze die berechneten Ableitungen ein: $f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$
$f^{'} (x) = - 2 \cdot e^{- 2 x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ mit $f (x) = e^{- 3 x} \cdot (x^{2} + 1)$ und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Es handelt sich bei $f (x)$ um ein Produkt.
Bringe $f (x)$ in die Form $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ .
Dazu setzt du $u (x) = e^{- 3 x}$ und $v (x) = x^{2} + 1$ .
Beachte, dass es sich bei $u (x)$ um eine verkettete Funktion handelt. Hier muss bei der Ableitung die Kettenregel beachtet werden.
Die äußere Funktion ist dabei $g (x) = e^{x}$ und die innere Funktion ist die Funktion $h (x) = - 3 x$ . Es gilt also: $u (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen:
$g^{'} (x) = e^{x}$ und $h^{'} (x) = - 3$
Setze alles in die Formel der Kettenregel ein: $u^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
$u^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3) = - 3 \cdot e^{- 3 x}$
Die Ableitung von $v (x)$ lautet: $v^{'} (x) = 2 x$
Setze nun alles in die Formel für die Produktregel ein:
$f^{'} (x) = (u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
$f^{'} (x) = - 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (x^{2} + 1) + e^{- 3 x} \cdot 2 x$
Vereinfacht:
$f^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$

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